سلسلة التكامل

$Q1)\int \frac{\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[4]{x-1}}{(x-1)(1+\sqrt[6]{x-1})}dx$

$Q2)\int (1-\frac{1}{x^{2}})\sqrt{x\sqrt{x}}dx$

$Q3)\int \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x^{2}}dx$

$Q4)\int \frac{cscx}{ln(tan\frac{x}{2})}dx$

$Q5)\int \frac{sin(lnx)}{x^{3}}dx$

$Q6)\int \frac{cos2x-1}{cos2x+1}dx$

$Q7)\int \frac{sinx-cosx}{\sqrt{2sinxcosx}}dx$

$Q8)\int \frac{1}{sinxcos^{2}x}dx$

$Q9)\int \sqrt{\frac{1-cosx}{cosx(1+cosx)(2+cosx)}}dx$

$Q10)\int \frac{1}{sin^{4}xcos^{2}x}dx$

بسم الله . جواب Q4

بسم الله . لاعطاء جمالية اكثر للسؤال الرابع Q4 , هذا حل ثاني للسؤال Q4 الجميل للاستاذ فلاح الناصري المحترم :

\[{\color{Red} Q1})y^{12}=x-1\Rightarrow 12y^{11}dy=dx\\\int \frac{\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[4]{x-1}}{(x-1)(1+\sqrt[6]{x-1})}=12\int \frac{y^{4}+{\color{Red} y^{2}}+y^{3}-{\color{Red} y^{2}}}{y\left ( 1+y^{2} \right )}dy\\=12\int ydy+12\int \frac{y^{2}-y}{y^{2}+1}dy=6y^{2}+12\int \frac{y^{2}+1-y-1}{y^{2}+1}dy\\=6y^{2}+12\int dy-12\int \frac{y}{y^{2}+1}dy-12\int \frac{1}{y^{2}+1}dy\\=6y^{2}+12y-6ln|y^{2}+1|-12tan^{-1}y+C\\=6\sqrt[6]{x-1}+12\sqrt[12]{x-1}-6ln|\sqrt[6]{x-1}+1|-12tan^{-1}\sqrt[6]{x-1}+C\]

\[Q2)x=y^{4}\Rightarrow dx=4y^{3}dy\\\int \left ( 1-\frac{1}{x^{2}} \right )dx=\int \left ( 1-\frac{1}{x^{2}} \right )\sqrt{x\sqrt{x}}dx\\=4\int \left ( 1-\frac{1}{y^{8}} \right ).y^{6}dy=4\int \left ( y^{6}-y^{-2} \right )dy\\=\frac{4}{7}y^{7}+4y^{-1}+C=\frac{4}{7}x^{\frac{7}{4}}+\frac{4}{\sqrt[4]{x}}+C\]

بسم الله . جواب السؤال الخامس Q5

بسم الله . هذا حل ثاني للسؤال الخامس Q5