الدوال الزائديه

دالة زائدية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...ctions.svg.png

http://bits.wikimedia.org/skins-1.18...y-clip-rtl.png
شعاع مار بنقطة الأصل ويقطع القطع الزائد http://upload.wikimedia.org/wikipedi...a51a88afc0.pngفي النقاط http://upload.wikimedia.org/wikipedi...ae87d8631b.png, حيث http://upload.wikimedia.org/wikipedi...12010761f9.png تكون المساحة بين الشعاع, وانعكاسه بالنسبه للمحور http://upload.wikimedia.org/wikipedi...b08879589d.png, والقطع الزائد (إنظر صورة متحركةللمقارنة مع الدوال المثلثية.

وهذه الصورة المتحركة لتضيف لموضوعك الجميل جمالا (احمد الجابري)
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...cAnimation.gif

الدوال الزائدية أو الدوال الزائدة في الرياضيات هي تلك الدوال المماثلة للدوال المثلثية أو الدائرية. تشكل الدوال الاتية الأساس في الدوال الزائدية:

• دالة الجيب الزائدي, sinh أو sh
• جيب التمام الزائدي, cosh أو ch
• الظل الزائدي, tanh أو th

كما يوجد لهذه الدوال معكوس كما في المثلثية:

• معكوس الجيب الزائدي, asinh
• معكوس جيب التمام الزائدي, acosh
• معطوس الظل الزائدي, atanh

سبب التسمية

تعود تسميتها بالزائدية لأنها دوال مشتقة من دالة القطع الزائد ولأن لها خواص شبيهة جدا بالدوال المثلثية كما سيتبين لاحقا. كما نعلم من الدائرة, تمثل النقاط http://upload.wikimedia.org/wikipedi...1b91193313.png دائرة الوحدة (نصف قطرها = 1), بالمثل فإن النقاط http://upload.wikimedia.org/wikipedi...6cd435145c.png تشل النصف الأيمن من القطع الزائد. تأخذ الدوال الزائدية قيما حقيقية إذا كانت وسائطها حقيقية الزاوية الزائدية. في التحليل المركب, هي ببساطة دوال نسبية أسية. تم تقديم هذه الدوال من قبل الرياضي السويسري جوهان هنرك لامبرت.
[عدل]تعبيرات جبرية قياسية

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...h_tanh.svg.png

http://bits.wikimedia.org/skins-1.18...y-clip-rtl.png
sinh, cosh وtanh

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...h_coth.svg.png

http://bits.wikimedia.org/skins-1.18...y-clip-rtl.png
csch, sech وcoth

الدوال المثلثية هي:

• الجيب الزائدي:

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...331f58a923.png

• جيب التمام الزائدي:

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...2f1cc29693.png

• الظل الزائدي:

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...c46295782e.png

• ظل التمام الزائدي:

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...e5d0269785.png
حيث http://upload.wikimedia.org/wikipedi...f882dbd276.png وحدة تخيلية معرفة بأنها http://upload.wikimedia.org/wikipedi...dd7658961e.png.
يمكن وضع الدوال الزائدية بالصور المعقدة كما في صيغة إيولر. لاحظ أنه من التعريف,
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...7fa8750b75.png تعني http://upload.wikimedia.org/wikipedi...c042e102fe.png, ليس http://upload.wikimedia.org/wikipedi...461bd8b266.png; وبالمثل للداول الزائدية الأخرى والأسات الموجبة.

علاقات مفيدة

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...04e425a00d.png
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...084b1c8918.pngوعليه:
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...2142d2a406.png

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...2acd803cdf.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...b03691f2f1.png
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...dda431e1bd.pngيمكن ملاحظة أن http://upload.wikimedia.org/wikipedi...d305095cde.png وhttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...d99e30aab7.png هي دوال زوجية; والأخرىات هي دوال فردية

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...8d27e29796.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...3b7d052678.pngالجيب الزائدي جيب التمام الزائدي يحقق المتطابقة:
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...b9d64c7ec9.pngوهي مشابهة لمتطابقة فيثاغورث.
الظل الزائدي هو حل لمعادلة غير خطية هي مسألة القيمة الحدية:
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...9d601b8e8c.png[عدل]دوال المعكوس في صور لوغاريتمية

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...71d9091d3a.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...5a6bc95197.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...a6a941693a.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...629731d6ae.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...9bdf6c89e8.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...acd17585c2.png

المشتقات

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...bfe7ca17c9.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...9104e17807.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...2ec5eb7617.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...d19d5d79ae.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...a089db7cde.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...c6607ce309.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...bb446dcc50.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...3690796cd9.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...b77dbe8d5a.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...9cc1f379d0.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...5e70e84c67.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...1951008644.png
]تكاملات قياسية

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...0de95c5b85.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...a1cd1ddd77.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...3b4984c85a.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...d8627d3332.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...c35c4a1a75.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...594fe0dcf7.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...dde8b047f5.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...c33e1a4938.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...b4fdf0aafe.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...f4ea603072.png
في التعابير السابقة, يدعى 'C بثابت التكامل.

تعابير متسلسلات تايلور

من الممكن نشر التعابير السابقة في صورة متسلسلة تايلور:
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...e76e64d349.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...c32bbd5dd1.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...0ab9ab6961.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...7d3c3449b6.png (متسلسلة لورنت)http://upload.wikimedia.org/wikipedi...2a09130506.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...7ccd7455f8.png (متسلسلة لورنت)حيث
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...c43c4e52e6.png هي عدد برنولي رقم nhttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...e8537a5977.png هي عدد إيولر رقم n
أوجه التشابه مع الدوال المثلثية

نقطة على القطع الزائد, x y = 1 بـ x > 1 تحدد مثلث زائدي, وفيه يكون الجانب المجاور للزاوية الزائدية مصحوبا بـcosh بينما العكس مع sinh. لكن بما أن النقطة (1,1) على هذا القطع الزائد هي على مسافة 2√ من نقطة الأصل, ويكون ثابت التعامد ضروريا لتعريف cosh و sinh بدلالة أطوال المثلث الزائدي. وكما تعبر النقاط http://upload.wikimedia.org/wikipedi...edfdb82767.png عن دائرة الوحدة, فإن النقاط http://upload.wikimedia.org/wikipedi...c547455cc3.png تعبر عن http://upload.wikimedia.org/wikipedi...dc8a00d301.pngوهذا بناء على القاعدة المثبتة:
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...1adbf23a8d.pngوالخاصية cosh t >= 1 لجميع قيم t.
الدوال الزائديه هي دوال دورية ذات دور مركب 2πi (πi للظل الزائدي وظل التمام الزائدي.
المتغير البارامتري t ليس زاوية دائرية, ولكنه زاوية زائدية والتي توضح ضعف المساحة بي المحور السيني والقطع الزائدي والخط المستقيم الواصل بين نقطة الأصل والنقطة http://upload.wikimedia.org/wikipedi...6cd435145c.png على القطع الزائد.
الدالة cosh x هي دالة زوجية, متماثلة حول المحور y.
الدالة sinh x is an دالة فردية, أي أن -sinh x = sinh -x, و sinh 0 = 0.
في الحقيقة يمكن التحويل بين المتطابقات المثلثية والمتطابقات الزائدية باستعمال قاعدة اوسبورن التي تنص على هذه الإمكانية عن طريق نشر المتطابقة كليا في حدود قوى تكاملات للجيب وجيب التمام, وبتغيير
sine إلىsinh و cosine إلى cosh, وتبديل الإشارة في كل حد يحوي مضروب من 2, 6, 10, 14,... sinh's. وينتج هذا على سبيل المثال نظريات الجمع.
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...f1c37cf55e.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...e8ecfb04e7.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...d7818fa419.png
صيغة مضاعف الزاوية
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...cf021c4646.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...cb825ef1c7.pngوصيغة نصف الزاوية
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...403d02a75a.png ملاحظة: هذا يقابل الجزء المعاكس في الدائرة.http://upload.wikimedia.org/wikipedi...d410166e1e.png هذا يقابل الجزء المعاكس في الدائرة مضروبا في -1.http://upload.wikimedia.org/wikipedi...fd06f5ecb6.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...d9e8187485.pngيعطى اشتقاق sinh x بدلالة cosh x واشتقاق cosh x هو sinh x; وهذا مشابه للدوال المثلثية ولوأن الإشارة تختلف. أي أن، مشتق cos x هو −sin x.
تعطي دالة غودرماني علاقة مباشرة بين الدوال المثلثية والزائدية دون اللجوء إلى الأعداد المركبة.
رسم الدالة a*cosh x/a هو منحنى سلسلي, المنحنى الناتج من سلسلة منتظمة مرنة معلقة بشكل حر بتأثير الجاذبية.
علاقاتها بالدوال الأسية
من تعريف الجيب الزائدي والتمام, يمكن اشتقاق المتطابقات التالية:
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...35ac235da1.pngو
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...8e4a8e4561.pngوهي تعابير مشابهة لتعابير الجيب وجيب التمام في المثلثات, بناء على صيغة ايولر كمجموع للأسات المركبة.
الدوال الزائدية للأعداد المركبة

لما كانت الدالة الأسية قابلة للتعريف على أي عدد مركب يمكن توسيع التعاريف للوسائط المركبة. الدوال sinh z و cosh z هي إذن هولومورفية.
وتعطى علاقاتها مع الدوال المثلثية بصيغة اويلر للأعداد المركبة:
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...9780943723.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...11ff593a41.pngوعليه:
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...5023628186.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...994b027984.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...f8560bc58b.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...5eb8f1adb6.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...77a99b181f.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...0a774d2369.pngدوال زائدية في المستوى المركبhttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...mplex_Sinh.jpg
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...mplex_Cosh.jpg
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...mplex_Tanh.jpg
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...mplex_Coth.jpg
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...mplex_Sech.jpg
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...mplex_Csch.jpg
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...aae0c4c93c.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...1313926652.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...275dd00462.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...424ba35f4c.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...e0ddf45fab.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...7eaaac851f.png

السلام عليكم
شكرا جزيلا لهذا الموضوع الجميل
وعذرا للتدخل

اقتباس:

---

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة ahmed

السلام عليكم
شكرا جزيلا لهذا الموضوع الجميل
وعذرا للتدخل

---

السلام عليكم بل سرنا مروكم استاذ احمد

شكرا لك استاذ حاجم فلقد اوضحت انت والاستاذ عبد الحميد السيد ما يمكن معرفته من الدوال الزائدية