مسائل وحلول - حساب مثلثات - حل المعادلة
مسائل وحلول
حساب مثلثات
حل المعادلة
حل المعادلة :
جتا5 هـ + جتاهـ = 2 جتا 2 هـ
في الدورة الأولي
جتا(3هـ + 2هـ) + جتا(3هـ - 2هـ) = 2*جتا2هـ
جتا3هـ جتا2هـ - جا3هـ جا2هـ + جتا3هـ جتا2هـ + جا3هـ جا2هـ = 2 جتا2هـ
2 جتا3هـ جتا2هـ - 2 جتا2هـ = 0
جتا2هـ (جتا3هـ - 1) = 0
جتا2هـ = 0 ـــــــــــ 2 هـ = ط/2 ــــــــــ هـ = ط/4
ـــــــــــــــــــــ 2 هـ = 3ط/2 ــــــــــ هـ = 3ط/4
أو
جتا3هـ = 1 ــــــــــ 3 هـ = 0 ـــــــــــــ هـ = 0
ــــــــــــــــــــ 3 هـ = 2 ط ــــــــــــ هـ = ط
حل المعادلة :
جاس + جا3 س = جتاس + جتا 3 س
في الدورة الأولي
جاس = جا(2 س - س) = جا2 س جتاس - جتا2 س جاس
جا3 س = جا(2 س + س) = جا2 س جتاس + جتا2 س جاس
جاس + جا3 س = 2 جا2 س جتاس ... ... ... (1)
جتاس = جتا(2 س - س) = جتا2 س جتاس + جا2 س جاس
جتا3 س = جتا(2 س + س) = جتا2 س جتاس + جا2 س جاس
جتاس + جتا 3 س = 2 جتا2 س جتاس ... ... ... (2)
2 جا2 س جتاس = 2 جتا2 س جتاس
جتاس (جا2 س - جتا2 س) = 0
جتاس = 0 ـــــــــــــــــــ س = ط/2 أو 3ط/2
أو
جا2 س = جتا2 س
ظا2 س = 1 ــــــــــــ 2 س = ط/4 ـــــــــــ س = ط/8
ــــــــــــــــــــــ 2 س = 5ط/4 ـــــــــ س = 5ط/8
حل نظام المعادلات التالية
ر = أ جتا هـ ========> ( 1 )
ر = أ جا2 هـ =========> ( 2 )
جتاهـ = جا2 هـ = 2 جاهـ جتاهـ
جتاهـ ( 1 - 2 جاهـ) = 0
جتاهـ = 0 ــــــــــــــــ هـ = ط/2 ، 3 ط/2 ، ...
أو
2 جاهـ = 1
جاهـ = 1/2 ــــــــــــــ هـ = ط/6 ، 5 ط/6
عند هـ = ط/2
جتاهـ = جتاط/2 = 0 ، جا2 هـ = جاط = 0
ــــــ ر = 0
عند هـ = 3 ط/2
جتاهـ = جتا3 ط/2 = 0 ، جا2 هـ = جا6 ط/2 = جا ط = 0
ــــــ ر = 0
عند هـ = ط/6
جتاهـ = جتاط/6 = جتا30 = جذر3 /2
جا2 هـ = حاط/3 = جا60 = جذر3 /2
ــــــ ر = أ*جذر3 /2
عند هـ = 5 ط/6
جتاهـ = جتا5 ط/6 = جتا150 = - جتا30 = - جذر3 /2
جا2هـ = جا10 ط/6 = جا300 = - جا60 = - جذر3 /2
ــــــ ر = - أ*جذر3 /2
تمرين للأستاذ وليد رشدى - مدرس رياضيات
ومرفق حلى للتمرين
تمرين للأستاذ على حسين
ومرفق حلى
تمرين للمهندس عبد الحميد السيد
ومرفق حلى
تمرين للمهندس عبد الحميد السيد
ومرفق حلى
للأستاذ ذياب
ومرفق حلى
مسائل وحلول
حساب مثلثات
متسلسلات
اثيت أن :
1/جا2س + 1/جا4س + 1/جا8س + ... + 1/جا(2^ن)س = ظتاس - ظتا(2^ن)س
1/جا2س = جاس/جاس جا2س = جا(2س - س) / جاس جا2س
= [جا2س جتاس - جتا2س جاس] / جاس جا2س
= جتاس/جاس - جتا2س/جا2س = ظتاس - ظتا2س
1/جا2س + 1/جا4س + 1/جا8س + ... + 1/جا(2^ن)س =
= (ظتاس - ظتا2س) + (ظتا2س - ظتا4س) + (ظتا4س - ظتا8س) + .... + (ظتا2^(ن - 2) س - ظتا2^(ن - 1) س) + (ظتا2^(ن - 1) س - ظتا2^ن س)
= ظتاس - ظتا2^ن س
أوجد مجموع المتسلسلة :
جاهـ - جا(هـ + س) + جا(هـ + 2س) + جا(هـ + 3س) + ... الى ن حدا
أوجد مجموع المتسلسلة :
جتاهـ - جتا ( س + هـ ) + جتا ( 2 س + هـ ) + جتا ( 3 س + هـ ) + ............... الي ن حدا ً
اثبت ان
جا 1(جا 1 +جا 3 +.......+جا97+جا 99)=(جا 50)^2
تمهيد :
جتاج – جتاد = - 2* جا[(ج + د)/2] * جا[(ج – د)/2]
نفرض أن : (ج + د)/2 = ل ، (ج – د)/2 = ع
- 2 جال جاع = جتا (ل + ع) – جتا(ل – ع)
2 جال جاع = جتا (ل – ع) – جتا (ل + ع)
خطوات حل التمرين :
جا 1 +جا 3 +.......+جا97+جا 99)=(جا 50)^2
متسلسلة مثلثية ، زواياها فى تتابع حسابى
الحد الأول أ = 1 ، الأساس د = 2 ، عدد الحدود ن = 50 ، المجموع = ج
ج = جاأ + جا(أ + د) + جا(أ + 2د) + ... + جا(أ + (ن - 1)د)
بالضرب × 2*جا(د/2)
2*جا(د/2)*ج = 2*جا(د/2)*جاأ + 2*جا(د/2)*جا(أ + د) + 2*جا(د/2)*جا(أ + 2د) + ... + *جا(د/2)*جا(أ + (ن - 1)د)
2*جا(د/2)*جاأ = جتا(أ - د/2) - جتا(أ + د/2)
2*جا(د/2)*جا(أ + د) = جتا(أ + د/2) - جتا(أ + 3د/2)
2*جا(د/2)*جا(أ + 2د) = جتا(أ + 3د/2) - جتا(أ + 5د/2)
... ... ...
2*جا(د/2)*جا(أ + (ن - 2)د) = جتا(أ + (ن - 5/2)د) - جتا((أ + (ن - 3/2)د)
2*جا(د/2)*جا(أ + (ن - 1)د) = جتا(أ + (ن - 3/2)د) - جتا(أ + (ن - 1/2)د)
2*جا(د/2)*ج = جتا(أ - د/2) - جتا(أ + (ن - 1/2)د) = 2*جا(أ + (ن - 1)د/2)*جا(ن د/2)
بالتعويض عن قيم أ ، د ، ن
جا(1)* ج = جا(1 + (50 - 1)*2/2) * جا(50*2/2) = (جا(50))^2
http://www.al3ez.net/upload/b/ahmad_...gonequat29.JPG
نضرب ونقسم المقدار بالقيمة :
[جاط/15*جا2ط/15*جا3ط/15*جا4ط/15*جا5ط/15*جا6ط/15*جا7ط/15]
البسط = (جاط/15 جتاط/15)(جا2ط/15 جتا2ط/15)(جا3ط/15 جتا3ط/15)(جا4ط/15 جتا4ط/15)(جا5ط/15 جتا5ط/15)(جا6ط/15 جتا6ط/15)(جا7ط/15 جتا7ط/15)
= (1/2)^7 [جا2ط/15*جا4ط/15*جا6ط/15][جا8ط/15*جا10ط/15*جا12ط/15*جا14ط/15]
وحيث :
جا8ط/15 = جا7ط/15
جا10ط/15 = جا5ط/15
جا12ط/15 = جا3ط/15
جا14ط/15 = جاط/15
البسط = (1/2)^7*[جاط/15*جا2ط/15*جا3ط/15*جا4ط/15*جا5ط/15*جا6ط/15*جا7ط/15]
وحيث أن المقام = [جاط/15*جا2ط/15*جا3ط/15*جا4ط/15*جا5ط/15*جا6ط/15*جا7ط/15]
المقدار = (1/2)^7 = 1/128
ضع في أبسط صورة :
جتاس جتا2 س جتا 3 س
ثم أحسب قيمة : جتا ( ط/7 ) جتا ( 2ط/7 ) جتا( 4 ط/ 7 )
نستخدم المتطابقتين التاليتين :
جا2هـ = 2 جاهـ جتاهـ
جاهـ + جاو = 1/2*[جا(هـ + و)/2 . جتا(هـ - و)/2
جتاس جتا2 س جتا 3 س = جتاس جتا2 س جتا 3 س × جاس/جاس
= 1/2*جا2س .جتا2س جتا3س / جاس
= 1/4*جا4س .جتا3س / جاس
= 1/4*[جا(7 + 1)س/2 . جتا(7 - 1)س/2]/جاس
= 1/4*1/2 [جا7س + جاس]/جاس
= 1/8*[جا7س + جاس]/جاس
= 1/8*[جا7س/جاس + 1]
جا( ط/7 ) جتا( 2ط/7 ) جتا( 4 ط/ 7 ) = 1/8*[جا(7ط/7)/جا(ط/7) + 1)
= 1/8*[جاط/جا(ط/7) + 1] = 1/8*[0 + 1] = 1/8
اقتباس:
برجاء من عنده الحل يعرضه
أثبت أن:
جتا ط\7 - جتا 2ط\7 + جتا 3ط\7 = 1\2
