مسائل وحلول - متتاليات ومتسلسلات

مسائل وحلول
متتاليات ومتسلسلات

أوجد مجموع المتسلسلة


http://up.arabsgate.com/u/1524/3544/46425.jpg





تمرين للأستاذ أسامة جابر - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57490.gif

############




تمرين للأستاذ أشرف محمد - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58533.png

$$$$$$$$$$$




تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4225/61209.gif

########





ورد لى السؤال التالى ، ومرفق جوابى للسؤال

http://up.arabsgate.com/u/1524/4140/59372.gif

############





تمرين للأستاذ محي الدين - موجه رياضيات

ومرفق حلى


http://up.arabsgate.com/u/7221/4855/72814.gif

######





تمرين للأستاذ محي الدين - موجه رياضيات

ومرفق حلى


http://up.arabsgate.com/u/7221/4855/72824.gif

########





تمرين للأستاذ محي الدين - موجه رياضيات

ومرفق حلى


http://up.arabsgate.com/u/7221/4855/72841.gif

########





تمرين للأستاذ محى

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/4909/73013.gif


########





تمرين للأستاذ محي الدين - موجه رياضيات

ومرفق حلى


http://up.arabsgate.com/u/7221/4909/73256.gif

#######





تمرين للأستاذ محي الدين - موجه رياضيات

ومرفق حلى



http://up.arabsgate.com/u/7221/4909/73281.gif

#######





تمرين للأستاذ محي الدين - موجه رياضيات

ومرفق حلى


http://up.arabsgate.com/u/7221/4909/73288.gif

########





تمرين للأستاذ محي الدين - موجه رياضيات

ومرفق حلى


http://up.arabsgate.com/u/7221/4909/73310.gif

########





تمرين للأستاذ محي الدين - موجه رياضيات

ومرفق حلى


http://up.arabsgate.com/u/7221/4909/73374.gif

########





تمرين للأستاذ محي - موجه رياضيات

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/4909/73459.gif

مسألة للأستاذ ذياب - مدرس رياضيات

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/4988/74315.gif




للأستاذ امام مسلم - مدرس رياضيات

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5113/77370.gif




للأستاذ معتز الخطيب

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5164/78428.gif

تنويه :
مجـ{33} = 33 × 2194 = 72402




للأستاذ أحمد عبد الحميد

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5164/78815.gif




مسألة

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5493/84177.gif




مسألة

ومرفق حلى


http://up.arabsgate.com/u/7221/5493/84178.gif





اثبت أن :

[(ن + 1)(ن + 2)(ن + 3) .... (2 ن)]/[1*2*3* ... *(2 ن - 1)] = 2^ن

http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/35991.jpg





http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36206.gif

http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36207.jpg





http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36810.jpg

ص = 1/2*(س + ع) = الوسط الحسابى بين س ، ع

أ^2 = س*ص
ب^2 = ص*ع

أ*ب/ص = جذرس*ع = الوسط الهندسى بين س ، ع

الوسط الحسابى أكبر من الوسط الهندسى ( بشرط الحدود موجبة )

ص > أ*ب/ص

عدد مكون من ثلاث أرقام تكون متتابعةحسابية وعند

قسمة هذا العدد علي مجموع أرقامة يكون الناتج مساويا ً 48

والفرق بين هذا العدد وبين 198 هو عدد مكون من نفس الأرقام السابقة

مكتوبة بعكس الترتيب الأول أوجد هذا العدد



نفرض أن أرقام العدد بالترتيب هو :

رقم الآحاد = أ ، رقم العشرات = (أ + د) ، رقم المئات = (أ + 2 د)

مجموع أرقام العدد = [3*أ + 3*د]

قيمة العدد = [1 × أ] + [10 × (أ + د)] + [100 × (أ + 2 د)] = [111 *أ + 210*د]

[111 *أ + 210*د] ÷ [3*أ + 3*د] = 48

ومنها : أ = 2*د

أرقام العدد المكون من نفس أرقام العدد السابق بترتيب عكسى هو :

رقم الآحاد = (أ + 2 د) ، رقم العشرات = (أ + د) ، رقم المئات = (أ)

وقيمته = [1 × (أ + 2 د)] + [10 × (أ + د)] + [100 × أ] = [ 111*أ + 12*د]

إذن :

[111 *أ + 210*د] - 198 = [ 111*أ + 12*د]

ومنها : د = 1

إذن :

أرقام العدد على الترتيب هى : 2 ، 3 ، 4

ويكون العدد هو : 432

للتحقق :

432 - 198 = 234
وهو نفس أرقام العدد (432) بترتيب عكسى

مجموع ثلاث أعداد موجبة يساوي 11/18

والمعكوسات الضربية لهذة الأعداد الثلاثة تكون متتابعة حسابية

فإذا كان مجموع هذة المعكوسات = 18

أوجد الأعداد الثلاثة ؟




نفرض أن الأعداد هى : س ، ص ، ع

س + ص + ع = 11 / 18 .................................................. (1)

1/س + 1/ص + 1/ع = 18 ................................................ (2)

1/س + 1/ع = 2/ص .................................................. ...... (3)

من (2) ، (3) ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ> ص = 1 / 6

بالتعويض بقيمة ص فى المعادلة (1) ، (3)

س + ع = 4 / 9 .................................................. ............. (4)

1/س + 1/ع = 12 .................................................. .......... (5)

من المعادلتين (4) ، (5) ينتج أن :

س = 1/3
ع = 1/9

للتحقق :

س + ص + ع = 1/3 + 1/6 + 1/9 = 11 / 18

1/س + 1/ص + 1/ع = 3 + 6 + 9 = 18

1/س + 1/ع = 3 + 9 = 12 = 2*6 = 2*(1/ص)

أوجد قيمة س في المعادلة

1 + 7 + 13 + ................ + س = 280


المعادلة هى متتابعة حسابية ، فيها :

الحد الأول = 1
الأساس = 6
مجموع الحدود = 280
الحد الأخير = س

نفرض أن :
عدد الحدود = ن

س = 1 + (ن - 1) × 6 = 6 ن - 5

280 = (ن/2)*[1 + 6 ن - 5] = (ن/2)*(6 ن - 4)
ومنها : ن = 10

س = 6 ن - 5 = 55

للتحقق :

أ = 1 ، د = 6 ، ن = 10

ج = (ن/2)*[2 أ + (ن - 1)*د] = (10/2)*[2 + (10 - 1)*6] = 5*56 = 280

إذا كونت س ، ص ، ع متوالية هندسية
وكونت : س ، س+ ص ، س + ع متوالية حسابية
إثبت أن : س : ص : ع = 1 : 2 : 4


ص^2 = س*ع
2*(س + ص) = س + (س + ع) ... ومنها : 2 ص = ع

ص^2 = س*(2 ص) ............. ومنها : ص = 2 س

إذن : ع = 4 س

ويكون : س : ص : ع = س : 2 س : 4 س = 1 : 2 : 4

إذا كان أ ، ب ، جـ تكون متوالية عددية
وكان : أ ، س ، ص ، جـ تكون متوالية هندسية
إثبت أن : س^3 + ص^3 = 2 ب س ص


2 ب = أ + ج
س*ص = أ*ج

2 ب*س*ص = أ*ج (أ + ج) = ج*أ^2 + أ*ج^2

فى المتوالية الهندسية :

نفرض أن : س = أ*ر ، ص = أ*ر^2 ، ج = أ*ر^3

س^3 + ص^3 = أ^3 × ر^3 + أ^3 × ر^6

= [أ^2 × أ ر^3] + [أ × (أ ر^3 )^2] = ج*أ^2 + أ*ج^2

= 2 ب*س*ص

إذا كان جـ هو مجموع ن من الحدود في متوالية هندسية

و ص هو حاصل ضرب هذة الحدود

و م مجموع مقلوبات هذة الحدود

إثبت أن ( جـ / م )^ن = ص^2



ج = أ + أ*ر + أ*ر^2 + ... + أ*ر^(ن - 1) = أ*(ر^ن - 1)/(ر - 1)

ص = أ × أ ر × أ ر^2 × ... × أ ر^(ن - 1) = أ^ن × ر^[ن(ن - 1)/2]

م = 1/أ + 1/أ ر + ... + 1/أ ر^(ن - 1) = 1/أ*[1 + 1/ر + ... + 1/ر^(ن - 1)
= 1/أ*[(1 - (1/ر)^ن)/(1 - 1/ر)] = [(ر^ن - 1)/(أ*(ر - 1)*ر^(ن - 1))]

ص^2 = [أ^ن × ر^[ن(ن - 1)/2]^2 = أ^2ن × ر^(ن*(ن - 1)]

(ج / م)^ن = [[أ*(ر^ن - 1)/(ر - 1)] ÷ [[(ر^ن - 1)/(أ*(ر - 1)*ر^(ن - 1))]]^ن
= أ^2ن × ر^(ن*(ن - 1))

إذا كان : ل^2 ، م ^2 ، م^4 - ل^2

في تتابع هندسي فأثبت أن م^2 > 2



م^2 هو الوسط الهندسى للعددين ل^2 ، (م^4 - ل^2)

الوسط الحسابى = 1/2*(ل^2 + م^4 - ل^2) = 1/2*م^4

الوسط الحسابى > الوسط الهندسى
(للأعداد الموجبة)

وحيث أن الأعداد هى مربعات أعداد ، فتكون موجبة وينطبق عليها متفاوتة العلاقة بين الوسط الحسابى والوسط الهندسى


إذن :

1/2*م^4 > م^2

م^2 > 2

إذا كانت 3 أ ، 3 ب - أ ، 2 ب في تتابع حسابي

فأثبت أن : أ^2 + 9 ب^2 > 12 أ ب


بشرط أن يكون كل من : 3 أ ، 2 ب أعداد موجبة
فيمكن تطبيق متفاوتة العلاقة بين الوسط الحسابى والوسط الهندسى لهما

الوسط الحسابى > الوسط الهندسى

3 ب - أ > جذر(6*أ*ب)

بالتربيع لكلا الطرفين

أ^2 + 9 ب^2 - 6*أ*ب > 6*أ*ب

أ^2 + 9 ب^2 > 12 أ*ب

س ، ص ، ع ثلاثة أعداد حقيقية مختلفه مجموعها = 30

إذا أخذت الأعداد بالترتيب : س ، ص ، ع فأنها تكون متتابعة حسابية

وإذا أخذت بالترتيب س ، ع ، ص فانها تكون متتابعة هندسية

أوجد الأعداد الثلاثة


س + ص + ع = 30 ............. (1)

2 ص = س + ع ................ (2)

ع^2 = س × ص ................ (3)

من (1) ، (2)

ص = 10

س = 20 - ع

بالتعويض فى (3)

ع^2 = 10 × س = 10 × (20 - ع) = 200 - 10 ع
ع^2 + 10 ع - 200 = 0

ع = 10 ـــــــــــــــ> س = 10

أو

ع = - 20 ـــــــــــــ> س = 40

وهى لا تحقق الشروط

الأعداد هى :
س = 10 ، ص = 10 ، ع = 10

إذا كان :
جـ 1 ، جـ 2 ، جـ 3 ، 0000 إلى جـ م
هى مجاميع متتابعات حسابيه عددها = م وعدد حدود كل منها = ن
فإذا كانت الحدود الأولى منها هى 1 ، 2 ، 3 ، 0000 على الترتيب
و أساساتها هى 1 ، 3 ، 5 ، 000 على الترتيب
فبرهن أن :
جـ 1+ جـ 2 + جـ 3 +0000 + جـ م = 1/2 م ن ( م ن + 1 )


الحدود الأولى للمتتابعات تمثل متابعة حسابية
حدها الأول = 1
الأساس = 1
عدد الحدود = م
الحد الأخير = (1 + (م - 1)) = م

الأساس يمثل متتابعة حسابية
حدها الأول = 1
الأساس = 2
عدد الحدود = م
الحد الأخير = (1 + (م - 1)*2) = 2م - 1

ج1 = (ن/2)[2 + (ن - 1)]
ج2 = (ن/2)[4 + (ن - 1)*3]
ج3 = (ن/2)[6 + (ن - 1)*5]
....
ج م = (ن/2)[2م + (ن - 1)*(2م - 1)]

مجاميع المتتابعات الحسابية ثمثل متتابعة حسابية
حدها الأول = (ن/2)[2 + (ن - 1)] = (ن/2)[ن + 1]
الأساس = ن^2
عدد الحدود = م
الحد الأخير = (ن/2)[2م + (ن - 1)*(2م - 1)] = (ن/2)[2م*ن - ن + 1]

ج1 + ج2 + ... + ج م = (م/2)[ (ن/2)[ن + 1] + (ن/2)[2م*ن - ن + 1]]
= (م/2)(ن/2)[ن + 1 + 2م*ن - ن + 1] = 1/2*م*ن[م*ن + 1]

نعتبر المتتالية العددية(ح ن) المعرفة على ط ، بحيث: ح0 + ح1 +ح2+.............+ح ن = (ن+1)^2.
أوجد ح ن بدلالة ن وبين أن(ح ن) حسابية.


مجموع ( ن + 1 ) من الحدود الأولى للمتتابعة ( ح ن ) = ( ن + 1 )^2

مجموع ( ن ) من الحدود الأولى للمتتابعة = ن^2

ح ن = ( ن + 1 )^2 - ن^2 = 2 ن + 1

ح0 = (1)^2 = 1
ح0 + ح1 = (2)^2 = 4 ـــــ > ح1 = 4 - 1 = 3
ح0 + ح1 + ح2 = (3)^2 = 9 ــــ> ح2 = 9 - 4 = 5

إذن :

ح1 - ح0 = ح2 - ح1 = 2

ويكون : ( ح ن ) متتابعة حسابية حدها الأول = 1 ، الأساس = 2

مجموع مربعات ثلاثة اعداد (صحيحة ) متتالية

يساوى مجموع مربعى العددان التاليين لهما فما هى الاعداد الخمسة



نفرض أن العدد الأول = س


أولا : فى حالة التزايد :

الأعداد الخمس المتتالية هى :

س ، (س + 1) ، (س + 2) ، (س + 3) ، (س + 4)

س^2 + (س + 1)^2 + (س + 2)^2 = (س + 3)^2 + (س + 4)^2

ومنها :

س = - 2
وتكون الأعداد هى : - 2 ، - 1 ، 0 ، 1 ، 2

أو

س = 10
وتكون الأعداد هى : 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14


ثانيا : فى حالة التناقص :

الأعداد الخمس المتتالية هى :

س ، (س - 1) ، (س - 2) ، (س - 3) ، (س - 4)

س^2 + (س - 1)^2 + (س - 2)^2 = (س - 3)^2 + (س - 4)^2

س = 2
وتكون الأعداد هى : 2 ، 1 ، 0 ، - 1 ، - 2

أو

س = - 10
وتكون الأعداد هى : - 10 ، - 11 ، - 12 ، - 13 ، - 14

http://up.arabsgate.com/u/1524/3443/45795.jpg





http://up.arabsgate.com/u/1524/3443/45805.jpg





http://up.arabsgate.com/u/1524/3443/45806.jpg





http://up.arabsgate.com/u/1524/3769/51527.jpg





تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين



http://up.arabsgate.com/u/1524/4140/59715.gif

##########





تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين



http://up.arabsgate.com/u/1524/4358/62728.gif

#######





تمرين للأستاذ أبو صبا

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/7221/4725/70865.gif

########




للأستاذ مدحت سلام

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5541/85188.gif




للأستاذ أشرف محمد

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5585/86654.gif




للأستاذ أشرف محمد

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5585/86677.gif




مسألة

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5541/85003.gif





http://up.arabsgate.com/u/7221/5541/85169.gif





http://up.arabsgate.com/u/7221/5541/85369.gif

[align=center]
مسألة للأستاذ على محمد المصرى

ومرفق جوابى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5564/85965.gif

[/align]

[align=center]

http://up.arabsgate.com/u/7221/5585/86628.gif

[/align]

[align=center]

http://up.arabsgate.com/u/7221/5585/86629.gif

[/align]

http://up.arabsgate.com/u/7221/5585/86650.gif




للأستاذ حكيم

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5164/78007.gif




ثلاثة تمارين
ومرفق حلولى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5307/80983.gif




تمرين للأستاذ خالد كمال

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5343/84034.gif




مسألة

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5493/84224.gif




مسألة

ومرفق حلى


http://up.arabsgate.com/u/7221/5493/84532.gif




للأستاذ مدحت سلام

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5068/76184.gif




مسائل ومرفق حلولى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5068/76193.gif




مسائل للأستاذ حسام وهبة

ومرفق حلولى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5068/76228.gif




3 مسائل للأستاذ مدحت سلام - موجه رياضيات

ومرفق أجوبتى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5068/76880.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/5068/76882.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/5068/76883.gif




للأستاذ على حسين - موجه رياضيات

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5113/77397.gif



وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته

لا عليك ، ضع أسئلتك واستفساراتك فى أى وقت

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71894.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71895.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71896.gif

##########




http://up.arabsgate.com/u/7221/4909/73257.gif

########




للأستاذ محمد فواز - مدرس رياضيات

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/4988/74994.gif




مسألة للأستاذ أحمد مجدى

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75166.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75278.gif

مسألة للأستاذ حمدى البيلى

ومرفق حلى


http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75323.gif





للأستاذ أحمد مجدى

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75407.gif




للأستاذ حسام وهبة

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75409.gif




للأستاذ حسام وهبة - مدرس رياضيات

ومرفق حلولى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75576.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75577.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75578.gif





http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75579.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75580.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75581.gif





http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75582.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75583.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75584.gif





http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75585.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75586.gif




للأستاذ حسام وهبة - مدرس رياضيات

ومرفق حلولى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75587.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75589.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75590.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75591.gif





للأستاذ أسامة جابر - مدرس رياضيات

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75761.gif




للأستاذ أسامة جابر - مدرس رياضيات

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75762.gif





للأستاذ حسام وهبة

ومرفق حلى


http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75816.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75817.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75818.gif





http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75819.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75820.gif





http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75827.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75828.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75829.gif





http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75830.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/5031/75831.gif

متتابعة غير تقليدية
( 2/ 9 ، 9 ، 2/ 3 ، 3 ، 2 ، 1 ، 0000000)
اذا كان مجموع عدد فردى من تللك الحدود = 283 /3
فما عدد حدودها ؟

المتسلسلة هى متتابعتين هندسيتين :

الأولى : 2 /9 ، 2 /3 ، 2 ، 6 ، 18 ، 45 ، ....
حدها الأول = 2 / 9
الأساس = 3

الثانية : 9 ، 3 ، 1 ، 1 /3 / 1/9 ، ...
حدها الأول = 9
الأساس = 1 /3

نفرض أن عدد الحدود الفردية = 2 ن + 1
فيكون :
عدد الحدود من المتتابعة الأولى = ن + 1
عدد الحدود من المتتابعة الثانية = ن

283 /3 = [ 2 /9 ( 3^{ن + 1} - 1 ) ] / [ 3 - 1 ] + [ 9 ( 1 - (1 /3)^ن) ] / [ 1 - (1 /3) ]

وهى معادلة من الدرجة الثانية فى المتغير 3^ن
وبحلها بالقانون العام ــــ> 3^ن = 243 ، ومنها : ن = 5

فيكون عدد حدود المتسلسلة = 2 ن + 1 = 11 حدا

للتحقق :

عدد حدود المتتابعة الهندسية الأولى = ن + 1 = 6
مجموعها = [ 2 /9 ( 3^6 - 1 ) ] / [ 3 - 1 ] = 728 / 9

عدد حدود المتتابعة الهندسية الثانية = ن = 5
مجموعها = [ 9 ( 1 - ( 1/3)^5 ) ] / [ 1 - ( 1 /3 ) ] = 121 /9

اجمالى المجموع = 728 /9 + 121 /9 = 849 /9 = 283 /3

متتابعة غير تقليدية
( 3 ، 18 ، س ، 1 ، 12 ، 1/ 2 س ، 1/ 3 ، 8 ، 1/ 4 س ، 0000000 )
اذا كان مجموعها الى اللانهاية = 23.5
فما قيمة س ؟


المتسلسلة تتكون من حدود ثلاثة متتابعات هندسية لانهائية

الأولى : 3 ، 1 ، 1 /3 ، ....
حدها الأول = 3
الأساس = 1 /3
مجموعها= 3 / (1 - (1 /3)) = 4.5

الثانية : 18 ، 12 ، 8 ، ...
حدها الأول = 18
الأساس = 2 /3
مجموعها = 18 / [ 1 - (2 /3) ] = 54

الثالثة : س ، س /2 ، س /4 ، ...
حدها الأول = س
الأساس = 1 /2
مجموعها = س / [ 1 - (1 /2) ] = 2 س

23.5 = 4.5 + 54 + 2 س

ومنها : س = - 17.5

متتابعة حسابية حدها الثالث يزيد عن ضعف حدها السادس بمقدار 1
ومربع حدها الثامن يزيد عن حدها الرابع بمقدار 2
أوجد المتتابعة ؟
ثم أوجد عدد الحدود الذى يعطى أكبر مجموع للمتتابعة
وأوجد هذا المجموع

نفرض أن الحد الأول = أ ، الأساس = د
أ + 2 د = 2 ( أ + 5 د ) + 1
ومنها : أ = - ( 1 + 8 د )

( أ + 7 د )^2 = ( أ + 3 د ) + 2
بالتعويض عن قيمة أ بدلالة د
د ( 7 + د ) = 0 ـــــــــــ> د = - 7 ، ومنها : أ = 55

المتتابعة الحسابية :
55 ، 48 ، 41 ، 34 ، 27 ، 20 ، 13 ، 6 ، - 1 ، ...

أكبر مجموع للمتتابعة هو مجموع الحدود الموجبة اعتبارا من الحد الأول
نفرض أن ح(ن) = 0
أ + (ن - 1) × د = 55 + (ن - 1) × - 7 ــــ> ن = 8 + 6 /8
إذن :
ح(9) = أ + 8 د = 55 - 8 × 7 = - 1
ح(8) = أ + 7 د = 55 - 7 × 7 = 6
ويكون : عدد الحدود الموجبة اعتبارا من الحد الأول = 8
ج(8) = 8 /2 [ 2 أ + 7 د ] = 4 [ 2 × 55 - 7 × 7 ] = 244

إذا أُدخِلت عدة أوساط حسابية بين عددين : 50 ، - 20
وكانت النسبة بين مجموع الوسطين الأوليين الى مجموع الوسطين الأخيرين = - 17 : 5
أوجد عدد الأوساط
ثم أوجد ح8

نفرض أن :
الحد الأول = أ ، الأساس = د
عدد الأوساط الحسابية = ن
فيكون عدد حدود المتتابعة الحسابية = ن + 2
الحد الأول = أ = 50
الحد الأخير = ح(ن + 2) = 50 + (ن + 1) د = - 20 ........ (1)
الوسطين الأوليين هما :
ح2 = 50 + د ، ح3 = 50 + 2 د
الوسطين الأخيرين هما :
ح(ن) = 50 + (ن - 1) د ، ح(ن + 1) = 50 + ن د

[ 50 + د + 50 + 2 د ] / [ 50 + (ن - 1) د + 50 + ن د ] = - 17 /5
[ 100 + 3 د ] / [ 100 + (2 ن - 1) د ] = - 17 /5 ...... (2)
بحل المعادلتين (1) ، (2) جبريا ، ينتج أن :
ن = عدد الأوساط الحسابية = 13
د = - 5

وتكون الأوساط : 45 ، 40 ، ...... ، - 10 ، - 15

والمتتابعة هى :
50 ، 45 ، 40 ، 35 ، 30 ، 25 ، 20 ، 15 ، 10 ، 5 ، 0 ، - 5 ، - 10 ، - 15 ، - 20

الحد الثامن فى المتتابعة = أ + 7 د = 50 + 7 × - 5 = 50 - 35 = 15

متتابعة حسابية 53 ، 47 ، 41 ، ...
أوجد أول حد سالب ؟
وأوجد عدد الحدود التى تؤخذ ابتداء من الحد الأول لتعطى أكبر مجموع ممكن ، وأوجد هذا المجموع

أ = 53 ، د = - 6
نفرض أن أول حد سالب هو ح(ن) = أ + (ن - 1) د
53 + (ن - 1) × - 6 = 53 - 6 ن + 6 = 59 - 6 ن
فيكون : 59/6 - ن < 0 ــــ> ن > 59/6 ـــ> ن = 10
ح10 = 53 - 9 × 6 = - 1

ح9 = 53 - 8 × 6 = 5
أكبر مجموع هو مجموع جميع الحدود الموجبة ح1 ، ح2 ، .....، ح9
وعددها 9 حدا
ج9 = 9/2 × [ 2 × 53 - 8 × 6 ] = 261

الوسط الهندسى للعددين أ ، ب = 4
الوسط الحسابى للعددين 1/(أ + 1) ، 1/(ب - 2) = 1/4
أوجد قيمة كل من أ ، ب

أ × ب = 4^2 = 16 ـــــ> ب = 16/أ
1/(أ + 1) + 1/(ب - 2) = 2 × 1/4 = 1/2
بالتعويض عن قيمة ب بدلالة أ
أ^2 - 4 أ + 4 = 0 ـــــ> أ = 2 ، ومنها : ب = 8

وتكون :
2 ، 4 ، 8 فى تتابع هندسى
1/(2 + 1) = 1/3
1/(8 - 2) = 1/6
1/3 ، 1/4 ، 1/6 فى تتابع حسابى

متتابعة هندسية لانهائية
كل حد فيها = ضعف مجموع الحدود التالية الى مالانهاية
ومجموع مكعبات حدودها = 27/26
أوجد المتتابعة ؟

نفرض أن المتتابعة : أ ، أ ر ، أ ر^2 ، أ ر^3 ، .... الى مالانهاية

أ = 2 × أ ر /(1 - ر) ــــ> ر = 1/3

أ^3 + أ^3 ر^3 + أ^3 ر^6 + أ^3 ر^9 + .... الى مالانهاية = 27/26
متتابعة هندسية لانهائية ، حدها الأول = أ^3 ، الأساس = ر^3
27/26 = أ^3 / ( 1 - ر^3 ) = أ^3 / ( 1 - {1/3}^3 ) = 27 أ^3 / 26
ومنها : أ = 1
مع اهمال الجذرين التكعيبين المترافقين للواحد الصحيح

وتكون المتتابعة : 1 ، 1/3 ، 1/9 ، 1/27 ، ...

http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48193.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48194.jpg





http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48195.jpg





http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48196.jpg





http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49010.jpg





http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49052.jpg





http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49053.jpg





http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49054.jpg





http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49055.jpg





http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49056.jpg





http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49344.jpg





http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49521.jpg

بشرط ص > 0 حتى تكون لـو ص قيمة محددة





http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49585.jpg

حل آخر

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/49609.jpg





http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/50285.jpg





http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/50286.jpg





http://up.arabsgate.com/u/1524/3980/56468.gif





http://up.arabsgate.com/u/1524/3980/56470.gif





http://up.arabsgate.com/u/1524/3980/56472.gif





تمرين للأستاذ سامح الدهشان - رحمه الله

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57841.gif

###########

تمرين للأستاذ سامح الدهشان - رحمه الله

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57842.gif

##############




تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57951.gif

############




تمرين للأستاذ عاطف أبو خاطر - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58224.gif

########




تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين



http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58296.gif

##########




تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58341.gif

###########




تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58405.gif

#########




تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58411.gif

##########





تمرين للأستاذ أشرف محمد - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/59113.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/5585/86888.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/5585/87072.gif