حل المسائل في الرياضيات - تحليل ومناقشة -
يمثل حل المسائل الرياضياتية صعوبة بالغة لدى معظم طلاب وطالبات مادة الرياضيات ويرجع سبب الصعوبة الى ان الطلبة ليس لديهم القدرة على التفكير بعيدا عن الموضوع المطروح او انهم لم يتعودوا على ان يحللوا ما تقع عليه أعينهم ،او انهم لم يستطيعوا فهم او تحديد لغة المسألة او أنهم لم يستطيعوا فهم الطرائق والمراحل الأساسية التي يمر بها حل المسألة.ان المهمة الاساسية لمعلم الرياضيات في العملية التعليمية / التعلمية هو توجيه الطلاب نحو الطرائق والاستراتيجيات المتعلقة بحل المسائل في الرياضيات.وتتوقف هذه المهمة على خبرة المعلم وتمكنه من مادته العلمية وقدرته على ادارة الصف ومبادراته في طرح الاسئلة على الطلاب وإشراكهم في العملية.
يعد حل المسائل الرياضياتية من أهم الموضوعات التي شغلت العاملين في مجال تدريس الرياضيات منذ فترة طويلة وحتى وقتنا هذا. فالمسألة موقف جديد ومميز يواجه المتعلم ولا يكون له حل جاهز لدى المتعلم في حينه. والشائع عند المعلمين ان المسائل الرياضية هي مسائل انشائية ( كلامية )، تطبق فيها المبادئ والتعميمات الرياضياتيةة فضلا عن العمليات الحسابية. والسؤال المطروح:
هل كل مسألة كلامية هي مسألة رياضياتية؟.
وهل يقتصر مصطلح المسألة الرياضياتية على المسائل الكلامية فقط؟
المسالة الرياضياتية :
هي موقف رياضياتيي أو حياتي جديد يتعرض له الفرد ، فيفكر في حله ، حيث أنه ليس لديه حل جاهز له ، وتختلف المواقف صعوبة وسهولة الواحد منها عن الآخر مما يجعل حلولها تختلف في درجة تعقيدها وفي درجة تحديها له .
حل المسألة :
يعني حل المسألة بالنسبة للطالب قبول ما فيها من تحد والإجابة عن السؤال أو الأسئلة التي تتضمنها بالشكل الصحيح .
يتطلب هذا الأمرعادة (من الطالب) عمليات عقلية متنوعة منها إعادة تنظيم و بناء ما لديه من معرفة ومعلومات سابقة واستخدامها وتوظيفها في حل المسألة.
يتطلب حل المسألة من الفرد القيام بالكثير من العمليات كإعادة صياغة المسألة وتحليلها ، وقد يحتاج إلى عمليات تركيب واستقصاء ووضع فرضيات واختبار مدى ملائمة تلك الفرضيات .
وباختصار يتطلب حل المسألة معالجتها بالطريقة العلمية أي بأسلوب حل المشكلات .
يمكن التمييز بين ثلاثة مصطلحات مستخدمة في كتب الرياضيات هي:
أ- السؤال(Question): وهو مثير أو موقف يحتاج إلى استجابة من المتعلم، وهذه الاستجابة هي تذكر او استذكار للمعلومات السابقة.
مثل: متى يكون الشكل الرباعي مستطيلاً؟ - ما ناتج 74 =x+ 66 ؟.
ب- التمرين(Exercise): موقف يهدف الى اكساب المتعلم مهارة في إجراء العمليات الحسابية أو التدريب على استخدام القوانين و المفاهيم الرياضياتية .
مثل: أوجد نواتج الضرب التالية:.....
اختصر الكسور الآتية لأبسط صورة:....
جـ- المسألة (Problem): موقف جديد يواجه المتعلم وليس له حل جاهز، فيحتاج المتعلم ان يفكر فيه ويحلله ومن ثم يستخدم ما تعلمه سابقاً ليتمكن من حله. وليس كل مسألة كلامية هي مسألة رياضياتية.
أمثلة: يبيع احد المحال التجارية البضاعة بخصم 25٪ لزبائنه، فبكم يشتري سالم قميصا كتب عليه 3000 دينارا؟
قطعة ارض مستطيلة الشكل طولها 30 مترا وعرضها 25 مترا ، فكم يدفع احمد ثمنا لها اذا كان ثمن المتر لها 1000 دينار؟.
هاتان مسالتان رياضيتان بالنسبة لطالب في المرحلة الإبتدائية ، ولكنها ليست مسألتين بالنسبة لطالب في المرحلة الثانوية.
أما المسائل: أوجد البؤرة والرأس والدليل للقطع المكافئ:... (المرحلة الثانوية).
أرسم المستقيم الذي يمر بالنقطتين) .... المرحلة المتوسطة(
و المسألة الرياضية الجيدة هي المسألة التي تتوفر فيها الشروط الآتية:
1: تتضمن المسألة استيعاب مفهوم رياضي محدد او استخدام مبدأ (تعميم) أو أكثر مما تعلمه الطالب.
2: يمكن تعميم المسالة او طريقة حلها الى عدد من المواقف الأخرى، فلا تقتصر المسألة أو طريقة حلها على موقف واحد وضيق، اذ أن الهدف من تعلم حل المسألة هو تعلم استراتيجيات في التفكير قابلة للتطبيق والانتقال الى مواقف أخرى.
3: ان تخضع المسألة نفسها لعدد من الحلول وليس لحل واحد فقط. وعلى المعلم تشجيع الطلاب للبحث عن طرق أخرى بديلة للمسائل كلما كان ذلك ممكنا، وأن لا يلزمهم بحل واحد فقط.
دور المعلم :
للمعلم الدور الأساس والمؤثر في تمكين الطلاب من حل المسائل وذلك بما يخطط وبعد من أنشطة وممارسات ومبادرات وان يعد خطة درسه المتضمنة المسائل والتدريب على حلها وتمكين طلبته من الاعتماد على أنفسهم في حلها. وتنمية قدراتهم وتدريبهم على حل المسائل الرياضياتية والحياتية باستخدام الطرائق الرياضياتية .
أهمية حل المسائل الرياضية
المسالة في الرياضيات او ما تدعى بـ(المشكلة )عبارة عن موقف جديد ومميز يتعرض له الطالب ولا يكون لديه حل جاهز لها.
اما المقصود بحل المسالة فهو أشبه بعملية قبول لتحد،والعمل على مجابهته والتغلب عليه، او هو الاستجابة المناسبة لوضع جديد لم يكن قد تعرض له المتعلم من قبل وهولا يملك الحل الجاهز له.
ان لحل المسائل الرياضية أهمية كبيرة في تعلم وتعليم الرياضيات لعدة أسباب منها:
*:انها العملية التي بواسطتها يتم تعلم مفاهيم جديدة .
*:تعد المسائل وسيلة ذات معنى للتدريب على المهارات الحسابية والجبرية والهندسية والرياضيات العليا وإكسابها معنى.
*:عن طريق حل المسائل نتعلم كيف ننقل المفاهيم والمهارات الى أوضاع ومواقف جديدة .
*:من خلال حل المسائل تكتسب المفاهيم المتعلمه معنى ووضوحاً لدى المتعلم.
*:من خلال حل المسائل تـُكتشف معارف جديدة .
*: من خلال حل المسائل تـتم تنمية أنماط التفكير لدى الطلبة والتي يمكن ان تنتقل الى مواقف أخرى.
*:حل المسائل وسيلة لإثارة الفضول الفكري وحب الاستطلاع.
*: استخدام مسائل رياضياتية مناسبة تحفز الطلبة على التعلم وإثارة الدافعية، فنجاح الطلبة في حل المسائل يدفعهم لمتابعة نشاطهم ومواصلته .
مراحل حل المسائل الرياضياتية:
لقد وضع جورج بوليا في كتابه البحث عن الحل( How To Solve It) أربع خطوات لحل المسألة، هي:
1- قراءة المسألة وفهمها.
ينبغي ان تعرض المسألة بلغة مفهومة للطلبة تتلاءم ومستواهم ويجب على المعلم التأكد من فهمهم للمسألة ،اذ لا يمكن الشروع بحل مسالة ما دون المعرفة بها، وان من اهم الصعوبات التي يواجهها الطلاب في حل المسائل هو عدم فهمهم للمسائل وما تنطوي عليه من معلومات وما يطلب منهم إيجاده..
2- ابتكار خطة الحل.
ان واجب المعلم في هذه الخطوة ان يعرض بعض الأسئلة التي قد توصل طلبته الى فكرة الحل كربط المسألة بمسألة سابقة ذات صلة بالمسالة المطلوب حلها،وعليه ان يدرب طلابه على مساءلة انفسهم :لماذا ساجري هذه الحطوة؟ وكيف ساقوم باجرائها؟.
3- تنفيذ الحل
وهي من اسهل خطوات حل المسألة خاصة اذا ادرك الطلبة الخطة ادراكا واعيا وصحيحا والخطورة في هذه المرحلة هو يأس الطلبة او عدم قدرتهم على الاستمرار ،وهنا ياتي دور المعلم في تشجيعهم وبث روح التحدي والمثابرة بداخلهم.
4- مراجعة الحل.
يتم التحقق من صحة الحل بعدة طرق منها التعويض او اللجوء الى طريقة حل أخرى او من خلال السير بخطوات الحل بطريقة معكوسة .
و لقد لاقت إستراتيجية بوليا في البحث عن الحل قبولاً واسعاً، واعتمدت أساسا لأي إستراتيجية أخرى مستخدمة. ومن الاستراتيجيات المشتقة عنها، إستراتيجية كروليك ورودنيك، وخطواتها:
1:قراءة المسألة وفهمها: وتتمثل هذه الخطوة في:
*: ابراز العبارات الرئيسة في المسألة.
*: وصف الموقف وتمثل الأفعال فيه.
*: صياغة المسألة بلغة الطالب الخاصة.
*: ما المطلوب في المسألة؟.
*: ما هي المعطيات في المسألة؟
2: مرحلة الاستكشاف / الاستقصاء: - تنظيم المعلومات المتوفرة بجدول او خارطة. – رسم تخطيطي للمسألة او عمل نموذج لها. – هل تتوفر معلومات كافية لحل المسألة؟ - هل هناك معلومات غير ضرورية لحل المسألة؟
3: اختيار استراتيجية الحل (خطة الحل): - اكتشاف النمط(Pattern). – السير عكسياً 0(افتراض أن المسألة محلولة .-( خمن الحل واختبر. – حالة خاصة. -عرض الحالات واختبارها فردياً.- التسلسل المنطقي.
4:تنفيذ الحل:
5:مراجعة الحل وتوسيع مجاله: - تحقق من الجواب .- ناقش الحل، هل استخدمت جميع المعلومات في المسألة؟- لاحظ اية تغييرات يمكن اجراؤها. – اسأل اسئلة من نوع " ماذا لو..؟"..
مثال: في المثلث ا ب جـ مد الضلع ب حـ الى د ،منصفا الزاويتين أ ب جـ & ا جـ د يلتقيان في ك برهن ان زاوية ب ك جـ = نصف زاوية ب أ جـ .
اهم الصعوبات التي تواجة الطلاب في حل المسائل
أظهرت دراسات عديدة ان معظم أسباب الضعف في القدرة على حل المسائل والعوامل الرئيسة التي تؤثر على مقدرتهم تكمن في الآتي:
*:عدم التمكن من مهارة القراءة ووجود عادات سيئة في القراءة بالإضافة الى ضعف في حصيلة المفردات اللغوية ذات الصلة المتعلقة بالمسالة.
*:الإخفاق في استيعاب المسألة وعدم القدرة على تمييز الحقائق الكمية والعلاقات المتضمنة في المسألة وتفسيرها.
*:الصعوبة في اختيار الخطوات التي ستتبع في حل المسألة.
*:ضعف خطة معالجة المسألة وعدم تنظيمها.
*:ضعف التمكن من المبادئ والقوانين والمفاهيم والعمليات والمهارات الاساسية.
*:عدم القدرة على اختيار الأساليب المناسبة.
*:ضعف القدرة على التفكير الاستدلالي والتسلسل في الحل.
*:ضعف قدرة الطلبة على التخمين والتقدير من اجل الحصول على جواب سريع.
المسائل الرياضياتية في كتب الرياضيات
تضم كتب الرياضيات المدرسية عددا من المشكلات الرياضياتية حول كل موضوع دُرّس (Problems) فضلا عن التمارين المعدة في نهاية كل موضوع لتدريب الطلبة ، أما مناهجنا في العراق فلا وجود لحل المشكلات في كل كتبنا المدرسية و تحتوي هذه الكتب عددا من المسائل المجردة او التي وضعت لأجل ان يسال الطالب عن شئ ما ،او مسائل تحتاج من الطالب قدرة على التصور الذهني او التخيل لأوضاع معينة او أوضاعا حياتية لم يألفها.وغالبا ما يتم فهم المسالة عن طريق تحليلها الى :
ا)معطيات المسالة والبيانات الواردة فيها.
ب)ما هو المطلوب في المسالة او ما الذي ينبغي الوصول اليه.
جـ)كيف تستخدم هذه البيانات للوصول الى الحل.
وتعد التمارين الهندسية أهم المسائل الرياضياتية التي تواجه الطالب في جميع مراحله الدراسية.
أهمية حل المسائل الرياضياتية في منهج الرياضيات
لقد مرت أهداف تدريس الرياضيات بمراحل كثيرة مختلفة . فقديماً كان الهدف الأساس لتدريس الرياضيات في السابق هو التركيز على الدقة والسرعة وتعزيز المهارة في إجراء العمليات الحسابية ، إلا أن التقدم السريع في التكنولوجيا قلل من أهمية هذا الهدف. فالآلة الحاسبة الصغيرة مثلاً أصبحت تؤدي هذه العمليات بدقة وسرعة أكثر. لذلك تغيرت أهداف تدريس الرياضيات فأصبحت تركز على الفهم والمعنى بجانب المهارة في العمليات الأساسية (ما هي النتيجة لهذا التغيير) ومع أن هذا الهدف يعتبر هدفاً أساسياً لتدريس الرياضيات إلا إنه هدف غير كاف ، فهذا الهدف يدعو إلى تدريس الرياضيات للرياضيات نفسها ، أي يدعو إلى التركيز على فهم الرياضيات كموضوع مستقل مترابط له بنيته الخاصة ومتعته الذاتية ومشكلاته الخاصة . ومع أن هذا الهدف قد يكون كافياً لإيجاد طبقة من المشتعلين بالرياضيات النظرية ، إلا أنه قد لا يكون مبرراً لإرهاق الطلاب بموضوعات الرياضيات الكثيرة ... ولكن كما نعلم فإن الهدف الأساسي للتعليم ككل هو إعداد الفرد ليصبح عضواً نافعاً لنفسه ومجتمعه .
وهنالك من يقول ان ( الرياضيات للرياضياتيين )؟؟
لذا كيف يمكن إعداد الفرد ليصبح عضواً نافعاً لنفسه ومجتمعه ).
إذن كيف تسهم الرياضيات في ذلك؟؟
إن التطور السريع الذي تميز به هذا العصر، إنما جاء كنتيجة لحل المشكلات المستمرة التي تواجه البشرية . إذن قد تسهم الرياضيات في إعداد الفرد النافع عن طريق تنمية قدرته على حل المشكلات ، مشكلات الحياة أياً كان نوعها وزمنها .وتأتي أهمية حل المشكلات في الرياضيات المدرسية كونها الهدف الأخير أو النتاج الأخير لعملية التعليم والتعلم . فالمعارف والمهارات والمفاهيم والتعميمات الرياضية ، بل وكل الموضوعات المدرسية الأخرى ليست هدفاً في حد ذاتها ، إنما هي وسائل وأدوات تساعد الفرد على حل مشكلاته الحقيقية . بالإضافة إلى ذلك فإن حل المشكلات هو الطريق الطبيعي لممارسة التفكير بوجه عام . فليس هناك رياضيات بدون تفكير ، وليس هناك تفكير بدون مشكلات .
تنمية قدرات الطلبة على حل المسائل: لا شك أن حل المسائل الرياضيية تدريب مناسب للفرد ليصبح قادراً على حل المشكلات في شؤون حياته المختلفة في الحاضر و المستقبل، ويتطلب حل المسائل الرياضياتية من الطالب أموراً ثلاثة هي:
*:التكيف للمسألة.
*: استحضار المادة الفكرية المتعلقة بها.
*: اختبار فرضيات الحل و الحلول المقترحة
. ويتطلب كل من هذه الأمور معارف و مهارات متعددة يمكن تحقيقها من خلال الإرشادات الآتية:
1:مساعدة الطلاب على التكيف للمسائل:
ان التكيف للمسائل يعتمد على مجموعة منظمة من المعارف التي تتعلق بالمسائل، و التي تتوفر في البنية المعرفية للفرد، وللتكيف للمسألة معناه أن يعرف الطالب موقع المسألة في هذه المعارف، ولعله من المفيد تدريب الطلاب على كيفية قراءة المسائل وإعادة صياغتها بلغتهم الخاصة وتوضيح المعطيات و المطلوب.
2: تشجيع الطلاب على اعادة المسألة وتوضيحها بالأشكال، وتمثيلها شكلياً أو رمزياً مثلا، وهذا يساعد على معرفة العلاقات بين التفاصيل، ويفيد المخطط في الوصول إلى الجواب بسرعة.
3:مساعدة الطلاب على استحضار المزيد من المادة الفكرية و المعلومات وهناك أسلوب مفيد يمكن أن يستعمله المعلم في ذلك وهو أسلوب الاستقصاء، فيستطيع المعلم أن يوجه أسئلته بحيث تتغير معه بؤرة انتباه الطلاب ويدخل عناصر جديدة وتكوين رؤيا جديدة بناء على ذلك. الأسئلة مثل:
* هل تعرف مسألة ذات صلة بالمسألة الحالية؟ هل تعرف نظرية أو تعميما يفيد في حلها؟
* هل يمكنك أن تعيد المسألة بشكل مختلف وحسب فهمك؟
*هل استـُعملت كل المعطيات و الفروض؟ هل أخذت بنظر الاعتبار كل المبادئ الجوهرية في المسألة؟
4:مساعدة الطلاب على التخلص من (حكم العادة) أو التشبث بنموذج حل فاشل. وذلك بنصح الطلاب للجوء إلى أسلوب آخر في الحل.
5:تشجيع الطلاب على حل المسألة بأكثر من طريقة (تنمية الإبداع ).وذلك بتشجيع الدافع الذاتي بنشاط حل المسائل المتنوعة، وتعزيز الحلول الصحيحة مهما اختلفت وعدم المعاقبة على الحلول الخاطئة وعدم الإصرار على حل المسائل بالخطوات الروتينية، و التحلي بالصبر و الموضوعية في الحكم على خطوات الحل.
6:مساعدة الطلاب على تحسين قدرتهم في اختبار الفرضيات وتشجيعهم على المضي في الاستقراء و الاستقصاء، وكلما أكد المعلم على الروابط و العلاقات بين أجزاء المسألة زادت فرص الطالب لتكوين الفرضيات وتخمين الحلول. فالمهارات و المدارك اللازمة لاختبار الفرضيات هي التي ترافق التفكير الاستـنتاجي، وتلك التي ترتبط بتجميع المعلومات وتحليلها ترافق بذلك التفكير الاستقرائي.
7: مساعدتهم على التخلص من الشعور بالفشل
فحين يفشل الطالب او الطالبة في حل المسألة فانهم يصابون بنوع من الإحباط وهنا يأتي المعلم بان يشجعهم وان الفشل هو الطريق للنجاح وحين يفشلون عليهم بترك المسألة بعض الوقت على ان يعودوا اليها فيما بعد.
