مسائل وحلول
حساب مثلثات
اثبت أن :
عرض للطباعة
مسائل وحلول
حساب مثلثات
اثبت أن :
إثبت أن :
ظتا30 ظتا40 = 1 + قا20
ظتا30 ظتا40 = ( جتا30 جتا40) / ( جا30 جا40)
جتا70 = جتا(30 + 40) = جتا30 جتا40 - جا30 جا40
جتا30 جتا40 = جتا70 + جا30 جا40 = جا20 + جا30 جا40
حيث جتا 70 = جا20
ظتا30 ظتا40 = [جا20 + جا30 جا40] / (جا30 جا40)
= 1 + جا20/(جا30 جا40)
= 1 + جا20/(1/2*2*جا20 جتا20)
= 1 + 1/جتا20 = 1 + قا20
حل آخر :
جتا70 = جا20
جتا70 = جتا(30 + 40) = جتا30 جتا40 - جا30 جا40
جتا30 جتا40 = جا20 + جا30 جا40
بالقسمة على جا30 جا40
ظتا30 ظتا40 = جا20/(جا30 جا40) + 1 = جا20/(1/2*2*جا20 جتا20) + 1 = قا20 + 1
في أي مثلث أ ب جـ
إثبت أن : جا ( أ/2 ) جتا ( ب/2 ) = [ ( ح - ب َ ) / جـ َ ] × جتا ( جـ / 2 )
أَ/جاأ = بَ/جاب = جَ/جاج
أَ = جَ*جاأ/جاج
بَ = جَ*جاب/جاج
جاج = جا[180 - (أ + ب)] = جا(أ + ب) = 2جا(أ + ب)/2 جتا(أ + ب)/2
جاج/2 = جتا(90 - ج/2) = جتا(أ + ب)/2
ح = 1/2*(أَ + بَ + جَ)
(ح - بَ) = 1/2*( أَ - بَ + جَ )
[(ح - بَ)*جتاج/2] / جَ = [1/2*( أَ - بَ + جَ )/ جَ]*جتاج/2
= 1/2*]*جتاج/2 *[(جَ*جاأ/جاج) - (جَ*جاب/جاج) + جَ]/ جَ]
= 1/2*[(جتاج/2)/جاج] [ جاأ - جاب + جاج ]
= 1/2*[جتاج/2 /(2جاج/2 جتاج/2] [(جاأ - جاب) + جاج]
= 1/2*1/2*(1/جاج/2) * [(2جتا(أ + ب)/2 جا(أ - ب)/2 ) + 2جا(أ + ب)/2 جتا(أ + ب)/2]
= 1/2*[جا(أ - ب)/2 + جتا(أ + ب)/2 ]
= 1/2*[2جاأ/2 جتاب/2 ] = جاأ/2 جتاب/2
أثبت أن زوايا اي مثلث أ ب جـ تحقق العباره
جتا^2 أ + جتا^2 ب + جتا^2 جـ = 1 - 2 جتا أ جتا ب جتا جـ
أ + ب + ج = 180
جتاأ = - جتا(ب + ج) = - [جتاب جتاج - جاب جاج)
جتا^2أ = جتا^2ب*جتا^2ج + جا^2ب*جا^2ج - 2*جتاب جتاج*جاب جاج
= جتا^ب جتا^2ج + (1 - جتا^2ب)(1 - جتا^ج) - 2*جتاب جتاج*جاب جاج
= 2 جتا^2ب جتا^2ج - جتا^2ب - جتا^2ج + 1 - 2*جتاب جتاج*جاب جاج
= 2 جتاب جتاج [جتاب جتاج - جاب جاج] - جتا^2ب - جتا^2ج + 1
= 2 جتاب جتاج *جتا(ب + ج) - جتا^2ب - جتا^2ج + 1
= - 2 جتاأ جتاب جتاج - جتا^2ب - جتا^2ج + 1
جتا^2 أ + جتا^2 ب + جتا^2 جـ =
= - 2 جتاأ جتاب جتاج - جتا^2ب - جتا^2ج + 1 + جتا^2 ب + جتا^2 جـ
= 1 - 2 جتاأ جتاب جتاج
1/جا2س = جاس/جاس جا2س = جا(2س - س) / جاس جا2س
اثيت أن :
1/جا2س + 1/جا4س + 1/جا8س + ... + 1/جا(2^ن)س = ظتاس - ظتا(2^ن)س
= [جا2س جتاس - جتا2س جاس] / جاس جا2س
= جتاس/جاس - جتا2س/جا2س = ظتاس - ظتا2س
1/جا2س + 1/جا4س + 1/جا8س + ... + 1/جا(2^ن)س =
= (ظتاس - ظتا2س) + (ظتا2س - ظتا4س) + (ظتا4س - ظتا8س) + .... + (ظتا2^(ن - 2) س - ظتا2^(ن - 1) س) + (ظتا2^(ن - 1) س - ظتا2^ن س)
= ظتاس - ظتا2^ن س
5 - أثبت أن زوايا اي مثلث أ ب جـ تحقق العباره
جتا^2 أ + جتا^2 ب + جتا^2 جـ = 1 - 2 جتا أ جتا ب جتا جـ
أ + ب + ج = 180
جتاأ = - جتا(ب + ج) = - [جتاب جتاج - جاب جاج)
جتا^2أ = جتا^2ب*جتا^2ج + جا^2ب*جا^2ج - 2*جتاب جتاج*جاب جاج
= جتا^ب جتا^2ج + (1 - جتا^2ب)(1 - جتا^ج) - 2*جتاب جتاج*جاب جاج
= 2 جتا^2ب جتا^2ج - جتا^2ب - جتا^2ج + 1 - 2*جتاب جتاج*جاب جاج
= 2 جتاب جتاج [جتاب جتاج - جاب جاج] - جتا^2ب - جتا^2ج + 1
= 2 جتاب جتاج *جتا(ب + ج) - جتا^2ب - جتا^2ج + 1
= - 2 جتاأ جتاب جتاج - جتا^2ب - جتا^2ج + 1
جتا^2 أ + جتا^2 ب + جتا^2 جـ =
= - 2 جتاأ جتاب جتاج - جتا^2ب - جتا^2ج + 1 + جتا^2 ب + جتا^2 جـ
= 1 - 2 جتاأ جتاب جتاج
تمرين للأستاذ بيومى عبد الله - مدرس رياضيات ، رحمه الله
ومرفق حلى للتمرين
http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57409.gif
تمرين للأستاذ محمد خالد - مدرس رياضيات
ومرفق حلى للتمرين
http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57646.gif
تمرين للأستاذ محمد خالد - مدرس رياضيات
ومرفق حلى للتمرين
http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57779.gif
تمرين للأستاذ أسامة جابر - مدرس رياضيات
ومرفق حلى للتمرين
http://up.arabsgate.com/u/1524/4140/60181.gif
تمرين للأستاذ محمد خالد غزول - مدرس رياضيات من سوريا الشقيقة
ومرفق حلى للتمرين
http://up.arabsgate.com/u/1524/4225/60813.gif
أ ب ج مثلث ، فيه أَ ، بَ ، جَ فى تتابع حسابى
اثبت أن :
ظتا(أ/2) ، ظتا(ب/2) ، ظتا(ج/2) فى تتابع حسابى
الاثبات :
أَ ، بَ ، جَ فى تتابع حسابى ــــ> 2 بَ = (أَ + جَ)
من خواص المثلث : أَ/ جاأ = بَ/ جاب = جَ/ جاج
بَ/ جاب = (أَ + جَ)/(جاأ + جاج) = 2 ب/(جاأ + جاج)
2 جاب = (جاأ + جاج) ... ... ... (1)
أ + ب + ج = 180 ــــــــــــ> ب/2 = 90 - (أ + ج)/2
من (1)
4 جا(ب/2).جتا(ب/2) = 2*جا[(أ + ج)/2 ]*جتا[(أ - ج)/2]
2*جا(ب/2)*جتا(ب/2) = جتا(ب/2)*[جتا(أ/2).جتا(ج/2) + جا(أ/2).جا(ج/2)]
2 جا(ب/2) = [جتا(أ/2).جتا(ج/2) + جا(أ/2).جا(ج/2)]
2 جتا[(أ + ج)/2] = [جتا(أ/2).جتا(ج/2) + جا(أ/2).جا(ج/2)]
2*[جتا(أ/2).جتا(ج/2) - جا(أ/2).جا(ج/2)] = [جتا(أ/2).جتا(ج/2) + جا(أ/2).جا(ج/2)]
جتا(أ/2).جتا(ج/2) = 3*جا(أ/2).جا(ج/2)
بالقسمة على جا(أ/2).جا(ج/2) لطرفى المتساوية
ظتا(أ/2).ظتا(ج/2) = 3 ... ... ... (2)
ظتا(ب/2) = ظا[(أ + ج)/2] = [ظا(أ/2) + ظا(ج/2)] ÷ [1 - ظا(أ/2).ظا(ج/2)]
بقسمة الطرف الأيسر على (ظا(أ/2).ظا(ج/2)) بسطا ومقاما
ظتا(ب/2) = [ظتا(أ/2) + ظتا(ج/2)] ÷ [ظتا(أ/2).ظتا(ج/2) - 1]
بالتعويض من المعادلة (2)
ظتا(ب/2) = [ظتا(أ/2) + ظتا(ج/2)] ÷ 2
2*ظتا(ب/2) = ظتا(أ/2) + ظتا(ج/2)
إذن :
ظتا(أ/2) ، ظتا(ب/2) ، ظتا(ج/2) فى تتابع حسابى
تمرين للأستاذ / محمد خالد غزول - مدرس رياضيات بسوريا الشقيقة
ومرفق حلى للتمرين
http://up.arabsgate.com/u/1524/4225/61224.gif
تمرين للأستاذ سامح الدهشان - مدرس رياضيات بقطر
ومرفق حلى للتمرين
http://up.arabsgate.com/u/1524/4225/61458.gif