الدوال الزائديه

دالة زائدية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

شعاع مار بنقطة الأصل ويقطع القطع الزائد في النقاط , حيث تكون المساحة بين الشعاع, وانعكاسه بالنسبه للمحور , والقطع الزائد (إنظر صورة متحركةللمقارنة مع الدوال المثلثية.

وهذه الصورة المتحركة لتضيف لموضوعك الجميل جمالا (احمد الجابري)

الدوال الزائدية أو الدوال الزائدة في الرياضيات هي تلك الدوال المماثلة للدوال المثلثية أو الدائرية. تشكل الدوال الاتية الأساس في الدوال الزائدية:

• دالة الجيب الزائدي, sinh أو sh
• جيب التمام الزائدي, cosh أو ch
• الظل الزائدي, tanh أو th

كما يوجد لهذه الدوال معكوس كما في المثلثية:

• معكوس الجيب الزائدي, asinh
• معكوس جيب التمام الزائدي, acosh
• معطوس الظل الزائدي, atanh

سبب التسمية

تعود تسميتها بالزائدية لأنها دوال مشتقة من دالة القطع الزائد ولأن لها خواص شبيهة جدا بالدوال المثلثية كما سيتبين لاحقا. كما نعلم من الدائرة, تمثل النقاط دائرة الوحدة (نصف قطرها = 1), بالمثل فإن النقاط تشل النصف الأيمن من القطع الزائد. تأخذ الدوال الزائدية قيما حقيقية إذا كانت وسائطها حقيقية الزاوية الزائدية. في التحليل المركب, هي ببساطة دوال نسبية أسية. تم تقديم هذه الدوال من قبل الرياضي السويسري جوهان هنرك لامبرت.
[عدل]تعبيرات جبرية قياسية

sinh, cosh وtanh

csch, sech وcoth

الدوال المثلثية هي:

• الجيب الزائدي:

• جيب التمام الزائدي:

• الظل الزائدي:

• ظل التمام الزائدي:

حيث وحدة تخيلية معرفة بأنها .
يمكن وضع الدوال الزائدية بالصور المعقدة كما في صيغة إيولر. لاحظ أنه من التعريف,
تعني , ليس ; وبالمثل للداول الزائدية الأخرى والأسات الموجبة.

علاقات مفيدة


وعليه:



يمكن ملاحظة أن و هي دوال زوجية; والأخرىات هي دوال فردية

الجيب الزائدي جيب التمام الزائدي يحقق المتطابقة:
وهي مشابهة لمتطابقة فيثاغورث.
الظل الزائدي هو حل لمعادلة غير خطية هي مسألة القيمة الحدية:
[عدل]دوال المعكوس في صور لوغاريتمية



المشتقات


]تكاملات قياسية


في التعابير السابقة, يدعى 'C بثابت التكامل.

تعابير متسلسلات تايلور

من الممكن نشر التعابير السابقة في صورة متسلسلة تايلور:
(متسلسلة لورنت) (متسلسلة لورنت)حيث
هي عدد برنولي رقم n هي عدد إيولر رقم n
أوجه التشابه مع الدوال المثلثية

نقطة على القطع الزائد, x y = 1 بـ x > 1 تحدد مثلث زائدي, وفيه يكون الجانب المجاور للزاوية الزائدية مصحوبا بـcosh بينما العكس مع sinh. لكن بما أن النقطة (1,1) على هذا القطع الزائد هي على مسافة 2√ من نقطة الأصل, ويكون ثابت التعامد ضروريا لتعريف cosh و sinh بدلالة أطوال المثلث الزائدي. وكما تعبر النقاط عن دائرة الوحدة, فإن النقاط تعبر عن وهذا بناء على القاعدة المثبتة:
والخاصية cosh t >= 1 لجميع قيم t.
الدوال الزائديه هي دوال دورية ذات دور مركب 2πi (πi للظل الزائدي وظل التمام الزائدي.
المتغير البارامتري t ليس زاوية دائرية, ولكنه زاوية زائدية والتي توضح ضعف المساحة بي المحور السيني والقطع الزائدي والخط المستقيم الواصل بين نقطة الأصل والنقطة على القطع الزائد.
الدالة cosh x هي دالة زوجية, متماثلة حول المحور y.
الدالة sinh x is an دالة فردية, أي أن -sinh x = sinh -x, و sinh 0 = 0.
في الحقيقة يمكن التحويل بين المتطابقات المثلثية والمتطابقات الزائدية باستعمال قاعدة اوسبورن التي تنص على هذه الإمكانية عن طريق نشر المتطابقة كليا في حدود قوى تكاملات للجيب وجيب التمام, وبتغيير
sine إلىsinh و cosine إلى cosh, وتبديل الإشارة في كل حد يحوي مضروب من 2, 6, 10, 14,... sinh's. وينتج هذا على سبيل المثال نظريات الجمع.

صيغة مضاعف الزاوية
وصيغة نصف الزاوية
ملاحظة: هذا يقابل الجزء المعاكس في الدائرة. هذا يقابل الجزء المعاكس في الدائرة مضروبا في -1.يعطى اشتقاق sinh x بدلالة cosh x واشتقاق cosh x هو sinh x; وهذا مشابه للدوال المثلثية ولوأن الإشارة تختلف. أي أن، مشتق cos x هو −sin x.
تعطي دالة غودرماني علاقة مباشرة بين الدوال المثلثية والزائدية دون اللجوء إلى الأعداد المركبة.
رسم الدالة a*cosh x/a هو منحنى سلسلي, المنحنى الناتج من سلسلة منتظمة مرنة معلقة بشكل حر بتأثير الجاذبية.
علاقاتها بالدوال الأسية
من تعريف الجيب الزائدي والتمام, يمكن اشتقاق المتطابقات التالية:
و
وهي تعابير مشابهة لتعابير الجيب وجيب التمام في المثلثات, بناء على صيغة ايولر كمجموع للأسات المركبة.
الدوال الزائدية للأعداد المركبة

لما كانت الدالة الأسية قابلة للتعريف على أي عدد مركب يمكن توسيع التعاريف للوسائط المركبة. الدوال sinh z و cosh z هي إذن هولومورفية.
وتعطى علاقاتها مع الدوال المثلثية بصيغة اويلر للأعداد المركبة:
وعليه:
دوال زائدية في المستوى المركب

السلام عليكم
شكرا جزيلا لهذا الموضوع الجميل
وعذرا للتدخل

السلام عليكم
شكرا جزيلا لهذا الموضوع الجميل
وعذرا للتدخل

السلام عليكم بل سرنا مروكم استاذ احمد

شكرا لك استاذ حاجم فلقد اوضحت انت والاستاذ عبد الحميد السيد ما يمكن معرفته من الدوال الزائدية