مسائل وحلول - الهندسة الفراغية Solid Geometry

مسائل وحلول - الهندسة الفراغية
Solid Geometry

كرة نصف قطرها 5 سم يرأد إنشاء منشور ثلاثي قائم وجميع رءوسه تقع علي سطح الكرة
وقاعدته مثلث متساوي الأضلاع دأخل الكرة أوجد أكبر حجم ممكن لهذا المنشور

توصلنا من الشكل السابق الى أن :
4/3*ل^2 + ع^2 = 25
حيث : 2 ل = طول ضلع قاعدة المنشور ، 2 ع = ارتفاعه
حجم المنشور = مساحة قاعدته × ارتفاعه
مساحة القاعدة = 1/2 * (2 ل) * 2 ل جا60 = جذر3*ل^2
حجم المنشور = جذر3*ل^2 × (2 ع) = 2 جذر3*ل^2*ع
بالتعويض عن قيمة ل^2 بدلالة ع
ل^2 = (25 - ع^2)*3/4
حجم المنشور = 3 جذر3/2 *ع(25 - ع^2) = 75 جذر3/2*ع - 3 جذر3/2 ع^3
المشتقة الأولى = 75 جذر3 /2 - 9 جذر3/2 ع^2
وبمساواتها بالصفر لايجاد النهايات العظمى والصغرى
ع^2 = 25/3 ، ومنها : ع = 5/ جذر3
المشتقة الثانية = - 9 جذر3 ع
وحيث قيمة ع موجبة ، فتكون المشتقة الثانية سالبة عند جميع قيم ع الموجبة ، وتعطى نهاية عظمى
ل^2 = (25 - ع^2)*3/4 = 75/4 - 25/4 = 50/4
أكبر حجم للمنشور = 2 جذر3*ل^2*ع = 2*جذر3*50/4*5/جذر3 = 250/2 = 125 سم^3