قرأت لكم - القطو ع المخروطيه

تطبيقات على القوع المخروطية منقول من (منتديات ستار تايمز) مقدمة كنا تناولنا موضوع المخروطات وقطوعها وأشرنا إلى اهتمام الرياضيين بها منذ القدم حيث يرجع هذا الانشغال إلى ما قبل 25 قرنا. ولذلك نجد في الرياضيات عبر العصور العديد من التعاريف والنتائج والخواص والتشعبات المتعلقة بالمخروطات، وهو الأمر الذي يحول دون التمكن من التعرض إليها كلها في بضعة دروس. وهكذا، وبعد أن قدمنا في درس سابق لمحة عن القطوع المخروطية ( التعاريف الأولية والخواص وما إليها )، سنركز اليوم على بعض التطبيقات (النظرية والعملية) التي تجدها المخروطات في مجالات مختلفة. وقد استفاد الرياضيون والفلكيون وعلماء الفضاء والميكانيكيون من خواص القطوع المخروطية ونتائجها فتمكنوا من حل العديد من المسائل التي كانت عالقة لديهم، واكتشفوا وصنعوا ما لم يكونوا يحلمون به : تعرفوا مثلا على مسارات الكواكب وصنعوا أدوات مختلفة كالهوائيات المقعرة والمرايا المحرقة ومصابيح السيارات، الخ. لنتحدث قليلا عن الفلك والقطوع الفلكية : لا يزال رصد السماء وما احتوته من نجوم وكواكب وأجرام مختلفة تشد الناظرين منذ القدم. ويعتبر كبلر( Kepler (1571-1630 أول من قدّم دراسة جدية حول القوانين التي تخضع لها حركة النجوم والكواكب. ثم جاء بعده نيوتن (1642-1727) واستفاد من قوانين كبلر ليستنتج قانون الجاذبية. ينص القانون الأول لكبلر بأن كل الكواكب تتحرك وفق مدارات شكلها شكل قطوع ناقصية تعتبر الشمس أحد بؤرها (محارقها). وبصفة عامة فإن كل جسم خاضع لحركة جذب "نيوتني" (نسبة لنيوتن) له مدار مخروطي. ومن المعروف أن الفلكيين والرياضيين مضطرون، عندما يكون النظام الفلكي المعتبر متكونا من أكثر من جرمين، إلى القيام بحسابات عددية معقدة بمعونة الحواسيب. ومن بين العلماء القدماء الذين اهتموا بهذا الموضوع الحسابي نجد أولر Euler الذي سمحت طريقته برسم القطوع المخروطية المرتبطة بمدارات الكواكب. ويذكر أن مرور مذنب هاللي Halley عام 1759 جعلت العلماء يخشون من المخاطر التي قد يتسبب فيها اقتراب المذنبات من الأرض. وقد كان هاللي الذي رأى المذنب عام 1682 تنبأ بأنه سيعود إلى الظهور بعد 76 سنة (مدة دورة المذنب حول الشمس) ... وصدق هاللي وعاد المذنب فعلا عام 1759 ولذا سمي المذنب باسمه. هل كان هناك خطر اصطدام؟ هل يمكن أن ينجم عن ذلك تغير في مدار الأرض؟ هل يمكن أن يصبح المذنب من جراء اقترابه من الأرض قمرا يدور حول الأرض؟ ثم عادت هذه التساؤلات عام 1770 عند ظهور مذنب لكسل Lexell. ذلك أن المشاهدات بينت أن هذا المذنب يبدو كأنه يتابع مدارا ناقصيا بدورية تقدر ب 5 سنوات ونصف تقريبا في الوقت الذي لم يكتشف وجوده من ذي قبل. ثم بينت الدراسات أنه مرّ على مقربة من كوكب المشتري، ومن ثم افترض بعض العلماء أن هذا الكوكب قد غير مداره مما جعل مذنب هاللي يظهر للعيان عام 1770. ولذا قام أولر عام 1774 بدراسة حول انعكاسات مرور المذنبات قرب الأرض. ومن ثم ندرك بعض أسباب الاهتمام بالقطوع المخروطية منذ العهود الغابرة : فهو موضوع جمع بين المتعة الكبيرة التي يشعر بها الرياضيون لدى تناولهم بعض المسائل المندرجة ضمن اختصاصهم وبين الفائدة التطبيقية التي تنبثق الكثير من الأحيان عنالنظريات الرياضية البحتة.

نظرية كارنو Carnot

نقدم في ما يلي نظرية لا تتحدث عنها البرامج الدراسية كثيرا رغم أهميتها وارتباطها بالقطوع المخروطية. كما سنشير إلى بعض تطبيقاتها.

نظرية كارنو :

ليكن مثلثا و لتكنو نقطتين على المستقيموونقطتين على المستقيم

و ونقطتين على المستقيم بحيث تكون جميع هذه النقاط مختلفة عن رؤوس المثلث .

عندئذ تكون النقاط الست ، ، ، ، ،على قطع مخروطي إذا وفقط إذا تحققت العلاقة :

مثال 1 :

حالة قطع ناقص يشمل ست نقاط تقع على أضلاع مثلث

مثال 2 :

حالة قطع زائد يشمل ست نقاط تقع على أضلاع مثلث

ملاحظة :

يمكن البرهان على هذه النتيجة بعدة طرق منها طريقة مبنية على النتيجة القائلة إن هناك قطعا مخروطيا واحدا يمرّ بخمس نقاط معطاة.

نظرية (تطبيق لنظرية كارنو) :

إذا كان مضلع سداسي الأضلاع (مسدس) يتمتع بالخاصية التالية : أََضلاع المسدس متوازية مثنى مثنى فإنه بالإمكان إحاطة هذا المضلع بقطع مخروطي.

بمعنى أن رؤوس المسدس الستة تقع على نفس القطع المخروط.

البرهان (باختصار) :

يستخدم البرهان نظرية طالس:

نمدد أضلاع المسدس فنحصل على مثلث نستطيع أن نطبق عليه نظرية طالس. بفضل التوازي يمكن تطبيق النظرية ست مرات فنحصل على النسب الواردة في علاقة نظرية كارنو. وبالمقارنة يتبيّن لنا قيام شروط نظرية كارنو. ومن ثمّ تأتي النتيجة.

هناك عدة أشكال توضح الحالات الممكنة لدى تطبيق النظرية السابقة.

ملاحظة :

هناك حالات خاصة من نظرية كارنو تظهر فيها القطوع المخروطية الشاذة، وهي :

-المجموعة الخالية،

- النقطة،

-النقطتان،

-اتحاد مستقيمين متوازيين،

-اتحاد مستقيمين متقاطعين.

والملاحظ أن نظرية كارنو لا تستثني في نصها هذه القطوع الشاذة. لكن الأمر في هذه النظرية يتعلق بست نقاط منها على الأقل 3 مختلفة مثنى مثنى لكونها تنتمي إلى 3 أضلاع مثلث. ولذا فالقطوع الشاذة الوحيدة التي يمكن أن ترد في نظرية كارنو هي حالة مستقيمين (متوازيين أو متقاطعين).

يتبيّن من نظرية مينلاوس Ménélaüs أنه إذا كانت ست نقاط تقع على مستقيمين بحيث يشمل كل مستقيم ثلاث منها على الأقل فإن علاقة نظرية كارنو محققة. وبالعكس، إذا كانت ثلاث نقاط (من بين الست النقاط) على استقامة واحدة، وكانت النقاط الست تحقق علاقة كارنو فإننا نستنتج قيام علاقة نظرية مينلاوس بالنسبة للنقاط الثلاث المتبقية.

وعليه فتطبيق نظرية مينلاوس يؤكد أن تلك النقاط هي أيضا على استقامة واحدة. وهكذا يتضح أن النقاط الست تقع على اتحاد مستقيمين ... وهو أحد القطوع المخروطية الشاذة المشار إليها آنفا. (أنظر الشكل أدناه)

حالة تطبيق نظرية كارنو عندما تكون ثلاث نقاط على استقامة واحدة

نلاحظ عندئذ أن النقاط الثلاث الأخرى تقع أيضا على استقامة واحدة

هناك أيضا نظرية أخرى متداولة في بعض البرامج أكثر من نظرية كارنو، وهي نظرية سيفا Ceva ( التي نسبها بعض المؤرخون المعاصرون إلى المؤتمن بن هود). إليك هذه النظرية.