سؤال في تكامل الدوال الدائرية

الملف الشخصي · 09-12-2014, 09:47 AM

أذا كان (k) عدد ثابت , $k\epsilon R,k> 0$

جد ناتج ما يأتي:

$\int \left ( \frac{1}{cos\left ( x \right )+ksin\left ( x \right )} \right )dx$

الملف الشخصي · 09-12-2014, 01:55 PM

http://i.imgur.com/7Yn8R5a.jpg

الملف الشخصي · 09-13-2014, 01:03 AM

$\int \left ( \frac{1}{cos\left ( x \right )+ksin\left ( x \right )} \right )dx=\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}\int \left ( \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}cos\left ( x \right )+\frac{k}{\sqrt{1+k^2}}sin\left ( x \right )} \right )dx$

$\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}> 0,\frac{k}{\sqrt{1+k^2}}> 0,\left ( \frac{1}{\sqrt{1+k^2}} \right )^2+\left ( \frac{k}{\sqrt{1+k^2}} \right )^2=1$

$cos\left ( m \right )=\frac{1}{\sqrt{1+k^2}},sin\left ( m \right )=\frac{k}{\sqrt{1+k^2}},\left ( m\epsilon R,m\epsilon \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right ) \right )$

$\int \left ( \frac{1}{cos\left ( x \right )+ksin\left ( x \right )} \right )dx=\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}\int \left ( \frac{1}{cos\left ( m \right )cos\left ( x \right )+sin\left ( m \right )sin\left ( x \right )} \right )dx$

$=\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}\int \left ( \frac{1}{cos\left ( x \right )cos\left ( m \right )+sin\left ( x \right )sin\left ( m \right )} \right )dx$

$=\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}\int \left ( \frac{1}{cos\left ( x-m \right )} \right )dx$

$=\frac{1}{\sqrt{1+K^2}}\int \left ( sec\left ( x-m \right ) \right )dx$

$=\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}\ln \left | \sec \left ( x-m \right )+tan\left ( x-m \right ) \right |+c$

$=\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}\ln \left | \frac{1}{cos\left ( x-m \right )} +\frac{sin\left ( x-m \right )}{cos\left ( x-m \right )}\right |+c$

$=\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}\left \ln \left | \frac{1+sin\left ( x-m \right )}{cos\left ( x-m \right )} \right |+c$

$=\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}\ln \left | \frac{1+sin\left ( x \right )cos\left ( m \right )-cos\left ( x \right )sin\left ( m \right )}{cos\left ( x \right )cos\left ( m \right )+sin\left ( x \right )sin\left ( m \right )} \right |+c$

$=\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}\ln \left | \frac{1+\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}sin\left ( x \right )-\frac{k}{\sqrt{1+k^2}}cos\left ( x \right )}{\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}cos\left ( x \right )+\frac{k}{\sqrt{1+k^2}}sin\left ( x \right )} \right |+c$

$=\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}\ln \left | \frac{\sqrt{1+k^2}+sin\left ( x \right )-kcos\left ( x \right )}{cos\left ( x \right )+ksin\left ( x \right )} \right |+c$

آخر المشاركات

الموضوع: سؤال في تكامل الدوال الدائرية

أدوات الموضوع

عرض

سؤال في تكامل الدوال الدائرية

The Following 2 Users Say Thank You to حامد حميد حامد For This Useful Post:

رد: سؤال في تكامل الدوال الدائرية

The Following 3 Users Say Thank You to صلاح احمد For This Useful Post:

رد: سؤال في تكامل الدوال الدائرية

The Following 4 Users Say Thank You to حامد حميد حامد For This Useful Post:

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

ضوابط المشاركة

مواضيع لم يتم الرد عليها