نظام معادلات للسهرة

الملف الشخصي · 11-09-2014, 10:33 PM

الملف الشخصي · 11-10-2014, 09:26 PM

أستاذ/ أحمد

هل الحل المطوب في مجال الأعداد الصحيحة فقط ؟

الملف الشخصي · 11-15-2014, 10:52 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
شكرا لمداخلتك استاذنا المثابر (ناصر)
الحل في r

الملف الشخصي · 11-16-2014, 10:38 PM

(x-4)(x^3+4x^2-10x-41)=0

x=4
y=3

الملف الشخصي · 11-17-2014, 12:03 AM

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته

$\\ x^{2}-y=13\ ...\left ( 1 \right )\rightarrow y=x^{2}-13 \ ...\left ( 3 \right ) \\ \because \ \ y^{2}-x=5 \ \ ...\left ( 2 \right )\rightarrow \left ( x^{2}-13 \right )^{2}-x=5\rightarrow x^{4}-26x^{2}+169-x-5=0 \\ \rightarrow x^{4}-26x^{2}-x+164=0\rightarrow \left ( x^{4} -16x^{2}\right )-\left ( 10x^{2}+x-164 \right )=0 \\ \rightarrow x^{2}\left ( x^{2} -16\right )-\left ( x-4 \right )\left ( 10x+41 \right )=0\rightarrow x^{2}\left ( x-4 \right )\left ( x+4 \right )-\left ( x-4 \right )\left ( 10x+41 \right ){\color{black} =0} \\ \left ( x-4 \right )\left [ x^{2}\left ( x+4 \right )-\left ( 10x+41 \right ) \right ]=0\rightarrow \left ( x-4 \right )\left ( x^{3} +4x^{2}-10x-41\right )=0$

$\\ either \ \ \left ( x-4 \right )=0\rightarrow {\color{Blue} x=4}\rightarrow y=4^{2}-13\rightarrow {\color{Blue} y=3} \\ \therefore \left ( x,y \right )=\left \{ \left ( 4,3 \right ) \right \} \\ or \ \left ( x^{3}+4x^{2}-10x-41\right )=0\rightarrow \left ( x^{3}+4x^{2}{\color{Blue} +}{\color{Blue} \frac{16}{3} x+\frac{64}{27}}\right )-10x-41{\color{Blue} -\frac{16}{3}x-\frac{64}{27}}{\color{Black} =0} \\ \rightarrow \left ( x+\frac{4}{3} \right )^{3}-\frac{46}{3}x{\color{Red} -\frac{184}{9}}-41-\frac{64}{27}{\color{Red} +\frac{184}{9}}=0 \\ \rightarrow \left ( x+ \frac{4}{3}\right )^{3}-\frac{46}{3}\left ( x+\frac{4}{3} \right )-\frac{619}{27}=0$

$\\ Let \ \ \left ( x+\frac{4}{3} \right )=h\rightarrow {\color{Blue} x=h-\frac{4}{3}} \\ \therefore h^{3}-\frac{46}{3}h-\frac{619}{27}=0 \\ Let \ \ {\color{Red} h=mz} \ \ :m\in C \ \ and \ \ m\neq 0 \ \ , \ \ z\in C \\ \therefore \ \ m^{3}z^{3}-\frac{46}{3}mz-\frac{619}{27}=0 \\ Let \ \ m^{2}=\frac{184}{9}\rightarrow m=\mp \frac{\sqrt{184}}{3}\rightarrow {\color{DarkGreen} m=\mp \frac{2\sqrt{46}}{3}} \\$

نأخذ قيمة واحدة ل ( m) تكفي لأكمال الحل :

$\\ Let \ \ {\color{DarkGreen} m=\frac{2\sqrt{46}}{3}}\rightarrow \frac{368\sqrt{46}}{27}z^{3}-\frac{46}{3}\left ( \frac{2\sqrt{46}}{3} \right )z-\frac{619}{27}=0 \\ \rightarrow \left [ \frac{368\sqrt{46}}{27}z^{3} -\frac{92\sqrt{46}}{9}z=\frac{619}{27}\right ]\left ( \frac{27}{92\sqrt{46}} \right )\\ \rightarrow {\color{Red} 4z^{3}-3z=\frac{619}{92\sqrt{46}}\approx 0.992028 \ \ ....\left ( 4 \right ) } \\ \rightarrow {\color{Blue} 3z-4z^{3}=-\frac{619}{92\sqrt{46}}\approx -0.992028 \ \ ...\left ( 5 \right )}$

أعتقد من الصعب أستخدام طريقة التحليل الى العوامل لحل المعادلة(0 =x³+4x²-10x-41) ولكن من الممكن أستخدام أحدى المعادلتين رقم (4) أو رقم (5) لأكمال الحل بطريقة تقريبية وبأستخدام حاسبة تحتوي على الدوال المثلثية ومعكوساتها مثل دالة الجيب ودالة الجيب تمام ومعكوس دالة الجيب ومعكوس دالة الجيب تمام وكل معادلة تختلف عن الأخرى في طريقة أيجاد الناتج وكلما كان التقريب الى مراتب عشرية أكثر كلما كان الناتج أقرب الى الحل المضبوط للمعادلة سأستخدم القياس الدائري في أيجاد قيم الدوال المثلثية ومعكوساتها وبأستخدام الحاسبة وبتقريب الناتج الى ستة مراتب عشرية لأكمال الحل وكالآتي :

( 1) أستخدام المعادلة رقم ( 4 ) لأكمال الحل وكالآتي :

$\\ {\color{Red} 4z^{3}-3z=\frac{619}{92\sqrt{46}}\approx 0.992028 \ \ ...\left ( 4 \right )} \\ {\color{Red}4 \cos ^{3}\left ( \theta \right )-3\cos \left ( \theta \right )=\cos \left ( 3\theta \right ) \ \ ...\left ( 6\right )} \\ \\ Let \ \ {\color{Red} \cos \left ( 3\theta \right )=\frac{619}{92\sqrt{46}}\approx 0.992028\rightarrow 3\theta \approx \cos^{-1}\left ( 0.992028 \right )\approx 0.126354\rightarrow }{\color{Blue} \theta \approx 0.042118} \\ \therefore {\color{Blue} \ \ z=\cos \left ( \theta +\frac{2k\pi }{3} \right ) \ \ ,k=0,1,2}$

$\\ \therefore \ {\color{Red} x=h-\frac{4}{3}=mz-\frac{4}{3}=\frac{2\sqrt{46}}{3}z-\frac{4}{3}} \\ \therefore \ {\color{Red} x=\frac{2\sqrt{46}}{3}\cos \left ( \theta +\frac{2k\pi }{3} \right )-\frac{4}{3}} \ \ \ {\color{Red} , \ \ k=0,1,2} \\ \therefore \ {\color{Red} x\approx \frac{2\sqrt{46}}{3}\cos \left ( 0.042118 +\frac{2k\pi }{3} \right )-\frac{4}{3} \ \ \ , \ \ k=0,1,2} \\ if {\color{Red} \ \ k=0 \rightarrow x\approx \frac{2\sqrt{46}}{3}\cos \left ( 0.042118+\frac{2\left ( 0 \right )\pi }{3} \right )-\frac{4}{3}\approx 3.184210 } \\ \rightarrow {\color{Red} y=x^{2}-13\approx \left ( 3.184210 \right )^{2}-13\approx -2.860807 }$

$\\ if \ \ {\color{DarkGreen} k=1 \rightarrow x\approx \frac{2\sqrt{46}}{3}\cos \left ( 0.042118+\frac{2\pi }{3} \right )-\frac{4}{3}\approx -3.756981} \\ \rightarrow {\color{DarkGreen} y=x^{2}-13\approx \left ( -3.756981 \right )^{2}-13\approx 1.114906} \\ if \ \ {\color{Blue} k=2 \rightarrow x\approx \frac{2\sqrt{46}}{3}\cos \left ( 0.042118+\frac{4\pi }{3} \right )-\frac{4}{3}\approx -3.427229} \\ \rightarrow {\color{Blue} y=x^{2}-13\approx \left ( -3.427229 \right )^{2}-13\approx -1.254101} \\ {\color{Red} \left ( x,y \right )\approx \left \{ \left ( 3.184210,-2.860807 \right ),\left ( -3.756981,1.114906 \right ),\left ( -3.427229,-1.254101 \right ) \right \}}$

${\color{blue} S.S\approx \left \{\left ( 4,3 \right ) \left ( 3.184210,-2.860807 \right ),\left ( -3.756981,1.114906 \right ),\left ( -3.427229,-1.254101 \right ) \right \}}$

(2) أستخدام المعادلة رقم (5) لأكمال الحل وكالتالي (للحل تكملة ) :

الملف الشخصي · 11-17-2014, 12:04 AM

$\\ {\color{Blue} 3z-4z^{3}=-\frac{619}{92\sqrt{46}}\approx -0.992028 \ \ ...\left ( 5 \right ) } \\ {\color{Blue} 3\sin \left ( \Theta \right )-4\sin ^{3}\left ( \Theta \right )=sin(3\Theta) \ \ ...\left ( 7 \right )} \\ Let \ \ {\color{Blue} \sin \left ( 3\Theta \right )=-\frac{619}{92\sqrt{46}}\approx -0.992028 \rightarrow 3\Theta =\sin^{-1}\left ( -\frac{619}{92\sqrt{46}} \right ) \approx -1.444442\rightarrow} {\color{Red} \Theta \approx -0.481481} \\ \therefore \ \ {\color{Blue} z=\sin \left ( \Theta +\frac{2k\pi }{3} \right ) \ \ , \ \ k=0,1,2} \\ \therefore \ \ {\color{Blue} x=h-\frac{4}{3}=mz-\frac{4}{3}=\frac{2\sqrt{46}}{3}z-\frac{4}{3}}$

$\\ \therefore \ \ {\color{blue} x=\frac{2\sqrt{46}}{3}\sin \left ( \Theta +\frac{2k\pi }{3} \right )-\frac{4}{3} \ \ , \ \ k=0,1,2} \\ \therefore \ \ {\color{Blue} x\approx\frac{2\sqrt{46}}{3}\sin \left ( -0.481481+\frac{2k\pi }{3} \right )-\frac{4}{3} \ \ , \ \ k=0,1,2} \\ if \ \ {\color{Blue} k=0}\rightarrow {\color{Blue} x\approx\frac{2\sqrt{46}}{3}\sin \left ( -0.481481+\frac{2\left ( 0 \right )\pi }{3} \right )-\frac{4}{3}\approx -3.427230} \\ \rightarrow {\color{Blue} y=x^{2}-13\rightarrow y\approx \left ( -3.427230 \right )^{2}-13\approx -1.254095} \\ if \ \ {\color{red} k=1}\rightarrow {\color{red} x\approx\frac{2\sqrt{46}}{3}\sin \left ( -0.481481+\frac{2\pi }{3} \right )-\frac{4}{3}\approx 3.184210}$

$\\ \rightarrow {\color{red} y=x^{2}-13\rightarrow y\approx \left (3.184210 \right )^{2}-13\approx -2.860807 } \\ if \ \ {\color{DarkGreen} k=2}\rightarrow {\color{DarkGreen} x\approx\frac{2\sqrt{46}}{3}\sin \left ( -0.481481+\frac{4\pi }{3} \right )-\frac{4}{3}\approx -3.756980} \\ \rightarrow {\color{DarkGreen} y=x^{2}-13\rightarrow y\approx \left ( -3.756980\right )^{2}-13\approx 1.114899} \\ \therefore \ \ {\color{Blue} \left ( x,y \right )\approx \left \{ \left ( -3.427230,-1.254095 \right ),\left ( 3.184210,-2.860807 \right ),\left ( -3.756980,1.114899 \right ) \right \}} \\ \therefore {\color{red} S.S\approx \left \{\left ( 4,3 \right ) \left ( -3.427230,-1.254095 \right ),\left ( 3.184210,-2.860807 \right ),\left ( -3.756980,1.114899 \right ) \right \}}$

الملف الشخصي · 11-17-2014, 12:22 PM

هل من الممكن أيجاد مجموعة الحلول لحل هذا النظام في مجموعة الأعداد الحقيقية بصورة غير تقريبية (مضبوطة) لجميع قيم (x),(y) فأن كان ذلك ممكناً فأرجو كتابة مجموعة الحلول لحل هذا النظام في مجموعة الأعداد الحقيقية بصورة غير تقريبية (مضبوطة) لجميع قيم (x),(y) أن أمكن ذلك
هذا ولكم جزيل الشكر والتقدير

الملف الشخصي · 11-17-2014, 04:02 PM

الملف الشخصي · 11-17-2014, 04:04 PM

الملف الشخصي · 11-18-2014, 01:43 PM

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة احمد الجابري

(1) الحل البياني

الملف الشخصي · 11-18-2014, 02:23 PM

(2) الحل جبريا

آخر المشاركات

الموضوع: نظام معادلات للسهرة

أدوات الموضوع

عرض

نظام معادلات للسهرة

The Following 5 Users Say Thank You to احمد الجابري For This Useful Post:

رد: نظام معادلات للسهرة

The Following User Says Thank You to ناصرعلي For This Useful Post:

رد: نظام معادلات للسهرة

The Following 2 Users Say Thank You to احمد الجابري For This Useful Post:

رد: نظام معادلات للسهرة

The Following 2 Users Say Thank You to البدراني For This Useful Post:

رد: نظام معادلات للسهرة

The Following User Says Thank You to حامد حميد حامد For This Useful Post:

رد: نظام معادلات للسهرة

The Following User Says Thank You to حامد حميد حامد For This Useful Post:

رد: نظام معادلات للسهرة

The Following User Says Thank You to حامد حميد حامد For This Useful Post:

رد: نظام معادلات للسهرة

رد: نظام معادلات للسهرة

The Following User Says Thank You to صلاح احمد For This Useful Post:

رد: نظام معادلات للسهرة

The Following 2 Users Say Thank You to حاجم الربيعي For This Useful Post:

رد: نظام معادلات للسهرة

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

ضوابط المشاركة

مواضيع لم يتم الرد عليها