الاستقراء الرياضي

الملف الشخصي · 01-06-2015, 06:59 PM

الاستقراء الرياضي

الملف الشخصي · 01-07-2015, 05:10 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الأستاذ الفاضل عادل الكعبي هل المقصود ب (log(x هو لوغاريتم أساسه (10) أم لوغاريتم أساسه (e) هذا ولكم جزيل الشكر والتقدير

الملف الشخصي · 01-07-2015, 11:39 PM

الاستاذ الكبير حامد السلام عليكم ......المقصود اللوغاريتم الطبيعي لان 1/ln(10) التابع لمشتقة اللوغاريتم العشري لا ينتمي للاعداد الطبيعية ... شكرا على التنبيه فيكون السؤال كمايلي

الملف الشخصي · 01-08-2015, 07:11 PM

(A) نبرهن أن القانون صحيح عندما n=0

${\color{Blue} \frac{\mathrm{d} ^{0}}{\mathrm{d} x^{0}}\left ( x^{0} \ln x\right )=0!\left ( \ln x \right )}\rightarrow {\color{Blue} \ln x=\ln x}\ \left ( true \right )$

$\therefore$ القانون صحيح عندما n=0

${\color{Blue} \left (1\right )}\ \ {\color{Red} \left ( B \right )}$ ^{نبرهن أن القانون صحيح عندما} ⁿ⁼¹

${\color{Blue} \frac{\mathrm{d} ^{1}}{\mathrm{d} x^{1}}\left ( x^{1}\ln x \right )=1!\left ( \ln x+1 \right )}\rightarrow x.\frac{1}{x}+1.\ln x=\ln x+1\rightarrow {\color{Blue} 1+\ln x=\ln x+1 }\ \left ( true \right )$

$\therefore$ القانون صحيح عندما n=1

(2) نفرض أن القانون صحيح عندما n=k أي أن :

${\color{Blue} \frac{\mathrm{d} ^{k}}{\mathrm{d} x^{k}}\left ( x^{k} \ln x\right )=k!\left ( \ln x+1+\frac{1}{2}+...\frac{1}{k}\right )}$

(3) نبرهن أن القانون صحيح عندما n=k+1 أي يجب أثبات أن :

$\\ {\color{Blue} \frac{\mathrm{d} ^{k+1}}{\mathrm{d} x^{k+1}}\left ( x^{k+1} \ln x\right )=\left (k+1 \right )!\left ( \ln x+1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\right )}\\ \\ {\color{Blue} \frac{\mathrm{d} ^{k+1}}{\mathrm{d} x^{k+1}}\left ( x^{k+1} \ln x\right )}=\frac{\mathrm{d}^{k} }{\mathrm{d} x^{k}}\left [ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( x^{k+1}\ln x \right )\right ]=\frac{\mathrm{d} ^{k}}{\mathrm{d} x^{k}}\left [ x^{k+1}.\frac{1}{x} +\left ( k+1 \right )x^{k}\ln x\right ]$

$\\ =\frac{\mathrm{d}^{k} }{\mathrm{d} x^{k}}\left ( x^{k}+\left (k+1 \right )x^{k}\ln x \right )=\frac{\mathrm{d} ^{k}}{\mathrm{d} x^{k}}\left ( x^{k} \right )+\frac{\mathrm{d} ^{k}}{\mathrm{d} x^{k}}\left [ \left ( k+1 \right ) x^{k}\ln x\right ] \\ \\ =\frac{\mathrm{d} ^{k}}{\mathrm{d} x^{k}}\left ( x^{k} \right )+\left ( k+1 \right )\frac{\mathrm{d} ^{k}}{\mathrm{d} x^{k}}\left ( x^{k}\ln x\right ) \\ \\ =\frac{\mathrm{d} ^{k-1}}{\mathrm{d} x^{k-1}}\left ( kx^{k-1}\right )+\left ( k+1 \right )\frac{\mathrm{d} ^{k}}{\mathrm{d} x^{k}}\left ( x^{k} \ln x\right )$

$\\ =\frac{\mathrm{d} ^{k-2}}{\mathrm{d} x^{k-2}}\left ( k\left ( k-1 \right )x^{k-2} \right )+\left ( k+1 \right )\frac{\mathrm{d} ^{k}}{\mathrm{d} x^{k}}\left ( x^{k} \ln x\right ) \\ . \\ . \\ . \\ =\frac{\mathrm{d} ^{k-k}}{\mathrm{d} x^{k-k}}\left [ k\left ( k-1 \right )....\left ( k-\left ( k-2 \right ) \right ) \left ( k-\left ( k-1 \right ) \right )x^{k-k}\right ]+\left ( k+1 \right )\frac{\mathrm{d} ^{k}}{\mathrm{d} x^{k}}\left ( x^{k}\ln x \right ) \\ \\ =\frac{\mathrm{d} ^{0}}{\mathrm{d} x^{0}}\left [ k\left ( k-1 \right ) ....\left ( 2 \right )\left ( 1 \right )x^{0}\right ]+\left ( k+1 \right )\frac{\mathrm{d} ^{k}}{\mathrm{d} x^{k}}\left ( x^{k}\ln x \right )$

$\\ =k!+\left ( k+1 \right )\frac{\mathrm{d} ^{k}}{\mathrm{d} x^{k}}\left ( x^{k}\ln x \right ) \\ \\ =k!+\left ( k+1 \right ){\color{Blue}k! \left ( \ln x+1+\frac{1}{2} +...+\frac{1}{k}\right )} \ \left ( because \ \ {\color{Blue} \left ( \frac{\mathrm{d} ^{k}}{\mathrm{d} x^{k}}\left ( x^{k} \ln x\right ) =k!\left ( \ln x+1+\frac{1}{2} +...+\frac{1}{k}\right )\right )} \right ) \\ \\ =\left ( k+1 \right ) !\left [ \frac{1}{k+1}+\left ( \ln x+1+\frac{1}{2} +...+\frac{1}{k}\right ) \right ] \\ \\ {\color{Blue} =\left ( k+1 \right )!\left ( \ln x+1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{k} +\frac{1}{k+1}\right )}$

الملف الشخصي · 01-08-2015, 08:22 PM

تكملة الحل :

$\therefore$ القانون صحيح عندما n=k+1

$\therefore$ القانون صحيح ${\color{Blue} \left ( \forall \ n\in N^{+} \right )}$

من ${\color{Red} \left ( A \right ) \ and \left ( B \right )}$ نستنتج أن القانون صحيح ${\color{Blue} \forall \ n\in N }$

الملف الشخصي · 01-08-2015, 10:50 PM

زادك الله علما استاذنا

آخر المشاركات

الموضوع: الاستقراء الرياضي

أدوات الموضوع

عرض

الاستقراء الرياضي

The Following 3 Users Say Thank You to عادل الكعبي For This Useful Post:

رد: الاستقراء الرياضي

The Following User Says Thank You to حامد حميد حامد For This Useful Post:

رد: الاستقراء الرياضي

The Following User Says Thank You to عادل الكعبي For This Useful Post:

رد: الاستقراء الرياضي

The Following User Says Thank You to حامد حميد حامد For This Useful Post:

رد: الاستقراء الرياضي

The Following 2 Users Say Thank You to حامد حميد حامد For This Useful Post:

رد: الاستقراء الرياضي

The Following User Says Thank You to عادل الكعبي For This Useful Post:

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

ضوابط المشاركة

مواضيع لم يتم الرد عليها