سلسلة المثلثات

الملف الشخصي · 12-21-2014, 11:31 PM

برهن بأستخدام الأستقراء الرياضي :

$Q1) \ \ {\color{Blue} \tan^{-1}\frac{1}{3}+\tan^{-1}\frac{1}{7}+...+\tan^{-1}\frac{1}{n^{2}+n+1 }=\tan^{-1}\frac{n}{n+2}}$

الحل : (1) نبرهن صحة القانون عندما n=1

${\color{Blue} \tan^{-1}\frac{1}{1^{2}+1+1}=\tan^{-1}\frac{1}{1+2}}\rightarrow {\color{Blue} \tan^{-1}\frac{1}{3}=\tan^{-1}\frac{1}{3}}\left ( true \right )$

$\therefore$ القانون صحيح عندما n=1

(2)نفرض صحة القانون عندما n=r أي أن:

${\color{Blue} \tan^{-1}\frac{1}{3}+\tan^{-1}\frac{1}{7}+...+\tan^{-1}\frac{1}{r^{2}+r+1}=\tan^{-1}\frac{r}{r+2}}$

^{^{^{^{^{^{^{(3) نبرهن صحة القانون عندما n=r+1 نضيف الى الطرفين}}}}}}} ${\color{Blue} \tan^{-1}\frac{1}{\left ( r+1 \right )^{2}+\left ( r+1 \right )+1} }$

${\color{Blue} \tan^{-1}\frac{1}{3}+\tan^{-1}\frac{1}{7}+...+\tan^{-1}\frac{1}{r^{2}+r+1}+\tan^{-1}\frac{1}{\left ( r+1 \right )^{2}+\left ( r+1 \right )+1} =\tan^{-1}\frac{r}{r+2}+\tan^{-1}\frac{1}{\left ( r+1 \right )^{2}+\left ( r+1 \right )+1}}$

$\\ = \tan^{-1}\frac{r}{r+2}+\tan^{-1}\frac{1}{r^{2}+2r+1+r+1+1} =\tan^{-1}\frac{r}{r+2}+\tan^{-1}\frac{1}{r^{2}+3r+3} \\ \\ =\tan^{-1}\frac{\left ( \frac{r}{r+2}+\frac{1}{r^{2}+3r+3} \right )}{\left ( 1-\frac{r}{\left ( r+2 \right )\left ( r^{2} +3r+3\right )} \right )}.\frac{\left ( r+2 \right )\left ( r^{2}+3r+3 \right )}{\left ( r+2 \right )\left ( r^{2}+3r+3 \right )}=\tan^{-1}\frac{r\left ( r^{2}+3r+3 \right )+\left ( r+2 \right )}{\left ( r+2 \right )\left ( r^{2}+3r+3 \right )-r} \\ \\ =\tan^{-1}\frac{r^{3}+3r^{2}+3r+r+2}{r^{3}+5r^{2}+9r+6-r}=\tan^{-1}\frac{r^{3}+3r^{2}+4r+2}{r^{3}+5r^{2}+8r+6}$

$\\ = \tan^{-1}\frac{\left ( r^{3} +r^{2}\right )+\left ( 2r^{2}+4r+2 \right )}{\left ( r^{3}+3r^{2} \right )+\left ( 2r^{2} +8r+6\right )}=\tan^{-1}\frac{r^{2}\left ( r+1 \right )+2\left ( r^{2}+2r+1\right )}{r^{2}\left ( r+3 \right )+2\left ( r^{2}+4r+3 \right )} \\ \\ =\tan^{-1}\frac{r^{2}\left ( r+1 \right )+2\left ( r+1 \right )^{2}}{r^{2}\left ( r+3 \right )+2\left ( r+1 \right )\left ( r+3 \right )}=\tan^{-1}\frac{\left ( r+1 \right ){\color{Red} \left [ r^{2} +2\left ( r+1 \right )\right ]}}{\left ( r+3 \right ){\color{Red} \left [ r^{2}+2\left ( r+1 \right )\right ]}} \\ \\ {\color{Blue} =\tan^{-1}\frac{\left (r+1 \right )}{\left (r+3 \right )}}$

$\therefore$ القانون صحيح عندما n=r+1

^{^{^{القانون صحيح}}} ${\color{Blue}\left ( \forall \ n\in N^{+} \right )}$

الملف الشخصي · 12-22-2014, 08:55 PM

$Q2) \ \ {\color{Blue} \cos x+\cos 2x+...+\cos nx=\sin \frac{nx}{2}\csc \frac{x}{2}\cos \frac{\left ( n+1 \right )x}{2}}$

(1)نبرهن صحة القانون عندما n=1

${\color{Blue} \cos 1x=\sin \frac{1x}{2}\csc \frac{x}{2}\cos \frac{\left (1+1 \right )x}{2}}\rightarrow {\color{Blue} \cos x=\cos x } \ \left ( true \right )$

$\therefore$ القانون صحيح عندما n=1

(2)نفرض أن القانون صحيح عندما n=r أي أن :

${\color{Blue} \cos x+\cos 2x+...+\cos rx=\sin \frac{rx}{2}\csc \frac{x}{2}\cos \frac{\left ( r+1 \right )x}{2}}$

(3) نبرهن أن القانون صحيح عندما n=r+1 نضيف الى الطرفين cos(r+1)x

$\\ {\color{Blue} \cos x+\cos 2x+...+\cos rx+\cos \left ( r+1 \right )x=\sin \frac{rx}{2}\csc \frac{x}{2}\cos \frac{\left ( r+1 \right )x}{2}+\cos \left ( r+1 \right )x} \\ \\ =\csc \frac{x}{2}\left [ \sin \left ( \frac{\left ( r+1 \right )x}{2}-\frac{x}{2} \right ) \right ]\cos \frac{\left ( r+1 \right )x}{2}+\csc \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}\left [ \cos ^{2} \frac{\left ( r+1 \right )x}{2}-\sin ^{2}\frac{\left ( r+1 \right )x}{2}\right ] \\ \\=\csc \frac{x}{2}\left [ \sin \left ( \frac{\left (r+1 \right )x}{2} -\frac{x}{2}\right )\cos \frac{\left ( r+1 \right )x}{2}+\sin \frac{x}{2} \left ( \cos ^{2} \frac{\left ( r+1 \right )x}{2}-\sin ^{2}\frac{\left ( r+1 \right )x}{2}\right )\right ]$

$\\ = \csc \frac{x}{2}\left [ \left ( \sin \frac{\left ( r+1 \right )x}{2} \cos \frac{x}{2}-\cos \frac{\left ( r+1 \right )x}{2}\sin \frac{x}{2}\right )\cos \frac{\left ( r+1 \right )x}{2} +\sin \frac{x}{2} \cos ^{2}\frac{\left ( r+1 \right )x}{2}-\sin \frac{x}{2}\sin ^{2}\frac{\left ( r+1 \right )x}{2}\right ] \\ \\ =\csc \frac{x}{2}\left [ \sin \frac{\left ( r+1 \right )x}{2} \cos \frac{\left ( r+1 \right )x}{2}\cos \frac{x}{2}-\cos ^{2}\frac{\left ( r+1 \right )x}{2} \sin \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\cos ^{2}\frac{\left ( r+1 \right )x}{2}-\sin \frac{x}{2}\sin ^{2}\frac{\left ( r+1 \right )x}{2}\right ]$

$\\ =\csc \frac{x}{2}\left [ \sin \frac{\left ( r+1 \right )x}{2} \cos \frac{\left ( r+1 \right )x}{2}\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\sin ^{2}\frac{\left ( r+1 \right )x}{2}\right ] \\ \\ =\csc \frac{x}{2}\sin \frac{\left ( r+1 \right )x}{2}\left [ \cos \frac{\left ( r+1 \right )x}{2}\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{\left ( r+1 \right )x}{2}\sin \frac{x}{2} \right ] \\ \\ =\csc \frac{x}{2}\sin \frac{\left ( r+1 \right )x}{2}\cos \left [ \frac{\left ( r+1 \right )x}{2}+\frac{x}{2} \right ] \\ \\ {\color{Blue} =\csc \frac{x}{2}\sin \frac{\left ( r+1 \right )x}{2}\cos \frac{\left ( r+2 \right )x}{2}}$

$\therefore$ القانون صحيح عندما n=r+1

^{^{^{القانون صحيح}}} ${\color{Blue} \left ( \forall \ n\in N^{+} \right )}$

الملف الشخصي · 12-25-2014, 01:36 AM

الملف الشخصي · 12-25-2014, 07:18 AM

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة فلاح الناصري

الملف الشخصي · 03-01-2015, 01:01 AM

الملف الشخصي · 03-01-2015, 01:46 AM

الملف الشخصي · 03-01-2015, 02:02 AM

الملف الشخصي · 03-01-2015, 02:13 AM

إثبات للجزء باللون الأحمر

الملف الشخصي · 03-01-2015, 03:03 AM

الملف الشخصي · 03-02-2015, 11:54 PM

الملف الشخصي · 03-03-2015, 06:06 PM

الملف الشخصي · 05-02-2015, 01:04 PM

آخر المشاركات

الموضوع: سلسلة المثلثات

أدوات الموضوع

عرض

رد: مع المثلثات

The Following 3 Users Say Thank You to حامد حميد حامد For This Useful Post:

رد: مع المثلثات

The Following 2 Users Say Thank You to حامد حميد حامد For This Useful Post:

رد: مع المثلثات

The Following 3 Users Say Thank You to فلاح الناصري For This Useful Post:

رد: مع المثلثات

The Following 5 Users Say Thank You to حاجم الربيعي For This Useful Post:

رد: مع المثلثات

The Following User Says Thank You to فلاح الناصري For This Useful Post:

رد: مع المثلثات

The Following 2 Users Say Thank You to وليد زوال For This Useful Post:

رد: مع المثلثات

The Following 2 Users Say Thank You to وليد زوال For This Useful Post:

رد: مع المثلثات

The Following User Says Thank You to وليد زوال For This Useful Post:

رد: مع المثلثات

The Following User Says Thank You to وليد زوال For This Useful Post:

رد: مع المثلثات

The Following User Says Thank You to فلاح الناصري For This Useful Post:

رد: مع المثلثات

The Following User Says Thank You to جليل الزيادي For This Useful Post:

رد: مع المثلثات

The Following 2 Users Say Thank You to فلاح الناصري For This Useful Post:

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

ضوابط المشاركة

مواضيع لم يتم الرد عليها