لتنشيط الذهن 2

عيدكم مبارك وصيام مقبول ان شاء الله والرحمة لشهدائنا
$\LARGE {\color{DarkBlue} (1)\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2^{x}-1}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2^{x}-1^{x}}{x}=ln2-ln1=ln2}$
[SIZE=6]${\color{DarkBlue} (2)\lim_{x\rightarrow 1}\frac{lnx}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}ln(1+x-1)^{\frac{1}{x-1}}$
${\color{DarkBlue} =\lim_{(x-1)\rightarrow 0}ln(1+\frac{1}{\frac{1}{x-1}})^{\frac{1}{x-1}}}=lne=1}$ [/SIZE]

$\LARGE {\color{DarkBlue} (3)\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+2x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}ln(1+\frac{2}{\frac{1}{x}})^{\frac{1}{x}}=lne^{2 }=2}$

عاشت يداك يا أستاذنا الجليل جليل الزيادى وبارك الله فيك وكل عام وحضرتك بخير
لا زلت أذكرك بباقى حلول المسائل إن أمكن ذلك، أدعو الله أن يوفقك وأن يبارك لنا فى علمك

$\LARGE {\color{DarkBlue} (4)\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{e^{-x}-1}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{1}{e^{x}}-1}{x}=0}$
${\color{DarkBlue} ()\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a^{2x}-1}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(a^{2})^{x}-1^{x}}{x}=ln a^{2}}$
${\color{DarkBlue} \lim_{x\rightarrow 0}(1+3tan^{2}x)^{cot^{2}x}=\lim_{cotx\rightarrow \infty }(1+\frac{3}{cot^{2}x})^{cot^{2}x}=e^{3}}$