نهاية

الملف الشخصي · 01-06-2015, 09:09 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

أحسب النهاية التالية

الملف الشخصي · 01-07-2015, 09:06 PM

$\\ {\color{Blue}\lim_{n\rightarrow \infty }\prod_{k=2}^{n}\frac{k^{3}-1}{k^{3}+1} }=\frac{2^{3}-1}{2^{3}+1}\times \frac{3^{3}-1}{3^{3}+1}\times \frac{4^{3}-1}{4^{3}+1}\times ........\infty \\ \\ {\color{Black} =\frac{\left ( 2-1 \right )\left ( 2^{2}+2+1 \right )}{\left (2+1 \right )\left ( 2^{2} -2+1\right )}\times \frac{\left ( 3-1 \right )\left ( 3^{2} +3+1\right )}{\left ( 3+1 \right )\left ( 3^{2}-3+1 \right )}\times \frac{\left ( 4-1 \right )\left ( 4^{2} +4+1\right )}{\left (4+1 \right )\left ( 4^{2} -4+1\right )}\times ....\infty }$

$\\ =\frac{1\left ( 2^{2}+2+1 \right )}{3\times 3}\times \frac{2\left ( 3^{2}+3+1 \right )}{4\left ( 3^{2}-3+1 \right )}\times \frac{3\left ( 4^{2}+4+1\right )}{5\left ( 4^{2}-4+1 \right )}\times ....\infty \\ \\ \because \ {\color{Blue} \left ( k+1 \right )^{2}-\left ( k+1 \right )+1}=k^{2}+2k+1-k-1+1={\color{Blue} k^{2}+k+1} \\ \\ \therefore \ {\color{Blue} k^{2}+k+1=\left ( k+1 \right )^{2}-\left ( k+1 \right )+1} \\ \\ Let \ {\color{Black} k=2}\rightarrow {\color{Blue} 2^{2}+2+1=3^{2}-3+1} \\ \\ Let \ k=3\rightarrow 3^{2}+3+1=4^{2}-4+1$

الملف الشخصي · 01-07-2015, 10:09 PM

تكملة الحل :

$\\ Let \ K=4\rightarrow {\color{Blue} 4^{2}+4+1=5^{2}-5+1} \\ . \\ . \\ \infty$

$\\ {\color{Blue} \lim_{n\rightarrow \infty }\prod_{k=2}^{n}\frac{k^{3}-1}{k^{3}+1}}=\frac{1{\color{Blue} \left ( 3^{2}-3+1 \right )}}{3\times 3}\times \frac{2{\color{Red} \left ( 4^{2}-4+1 \right )}}{4{\color{Blue} \left (3^{2} -3+1 \right )}}\times \frac{3{\color{Black} \left ( 5^{2}-5+1 \right )}}{5{\color{Red} \left ( 4^{2} -4+1\right )}}\times ....\infty \\ \\ =\frac{1}{3\times 3}\times \frac{2}{4}\times \frac{3}{5}\times \frac{4}{6}\times \frac{5}{7}\times .....\infty =\frac{2}{3 }\times \frac{1}{\infty }=\frac{2}{3}\times 0={\color{Blue} 0}$

الملف الشخصي · 01-07-2015, 10:26 PM

أهلا استاذ حامد
الرجاء مراجعة حلك

تحياتي

الملف الشخصي · 01-08-2015, 01:12 AM

شكراً للأستاذ الفاضل صديق الرياضيات على تنبيهي للخطأ الذي وقعت فيه في حل السؤال وأعتقد أني أخطأت في الخطوة الأخيرة للحل وهذه محاولة مني لتكملة الحل بصورة صحيحة

$\\ {\color{Blue} \lim_{n\rightarrow \infty }\prod_{k=2}^{n}\frac{k^{3}-1}{k^{3}+1}}=\lim_{k\rightarrow \infty }\left ( k^{2}+k+1 \right )\times \frac{1}{3\times 3}\times \frac{2}{4}\times \frac{3}{5}\times \frac{4}{6}\times \frac{5}{7}\times ....\infty \\ \\ =\frac{2}{3}\lim_{k\rightarrow \infty }\left ( k^{2}+k+1 \right )\times \left ( \lim_{k\rightarrow \infty }\left ( k \right )\right )^{-1}\times \left ( \lim_{k\rightarrow \infty }\left ( k+1 \right ) \right )^{-1} \\ \\ =\frac{2}{3} \lim_{k\rightarrow \infty }\left ( \frac{k^{2}+k+1}{k^{2}+k} \right )=\frac{2}{3}\lim_{k\rightarrow \infty }\frac{k^{2}\left ( 1+\frac{1}{k} +\frac{1}{k^{2}}\right )}{k^{2}\left ( 1+\frac{1}{k} \right )}={\color{Blue} \frac{2}{3}}$

الملف الشخصي · 01-08-2015, 03:45 AM

أهلا بالاستاذ الفاضل حامد وبالطبع الجواب 2/3 كما ذكرت بارك الله فيك ويمكننا كتابة الحل بالشكل التالي

آخر المشاركات

الموضوع: نهاية

أدوات الموضوع

عرض

نهاية

The Following User Says Thank You to صديق الرياضيات For This Useful Post:

رد: نهاية

رد: نهاية

رد: نهاية

The Following User Says Thank You to صديق الرياضيات For This Useful Post:

رد: نهاية

رد: نهاية

The Following User Says Thank You to صديق الرياضيات For This Useful Post:

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

ضوابط المشاركة

مواضيع لم يتم الرد عليها